Si les distributions avec les mêmes moments sont identiques

Les éléments suivants sont similaires mais différents des articles précédents ici et ici

Étant donné deux distributions qui admettent des moments de tous les ordres, si tous les moments de deux distributions sont les mêmes, sont-elles alors des distributions identiques ae?
Étant donné deux distributions qui admettent des fonctions de génération de moments, si elles ont les mêmes moments, leurs fonctions de génération de moments sont-elles les mêmes?

— Tim
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Conformément à la question # 2, je crois en général, si deux fonctions ont la même MGF (si elle existe dans un voisinage ouvert de 0) alors elles suivent la même distribution. Malheureusement, je ne connais pas la preuve, car elle est assez complexe. J'espère que ça aide un peu.

— nicefella

@nicefella La preuve est relativement simple: l'évaluation du MGF à des valeurs imaginaires donne la fonction caractéristique qui peut être inversée pour produire la distribution. L'inversion fonctionne à condition que le MGF soit analytique dans un quartier d'origine.

— whuber

Permettez-moi de répondre dans l'ordre inverse:

2. Oui. Si leurs MGF existent, ils seront les mêmes *.

voir ici et ici par exemple

En effet, il découle du résultat que vous donnez dans le post dont cela provient; si le MGF ** détermine uniquement la distribution, et que deux distributions ont des MGF et qu'elles ont la même distribution, elles doivent avoir le même MGF (sinon vous auriez un contre-exemple à `` MGF déterminent de manière unique les distributions '').

* pour certaines valeurs de «même», en raison de cette phrase «presque partout»

** « presque partout »

Non, car il existe des contre-exemples.

Kendall et Stuart énumèrent une famille de distribution continue (peut-être à l'origine due à Stieltjes ou à quelqu'un de ce millésime, mais mon souvenir n'est pas clair, cela fait quelques décennies) qui ont des séquences de moments identiques et pourtant différentes.

Le livre de Romano et Siegel (Counterexamples in Probability and Statistics) répertorie les contre-exemples dans les sections 3.14 et 3.15 (pages 48-49). (En fait, en les regardant, je pense que les deux étaient à Kendall et Stuart.)

Romano, JP et Siegel, AF (1986),
Counterexamples in Probability and Statistics.
Boca Raton: Chapman et Hall / CRC.

Pour 3,15, ils créditent Feller, 1971, p227

Ce deuxième exemple concerne la famille des densités

F (X; α) = \frac{1}{24} \exp (- X^{1 / 4}) [1 - α péché (X^{1 / 4})], X > 0; 0 < α < 1

$f(x;\alpha) = \frac{1}{24}\exp(-x^{1/4})[1-\alpha \sin(x^{1/4})], \quad x>0;\,0<\alpha<1$

Les densités diffèrent par $\alpha$ change, mais les séquences de moments sont les mêmes.

Que les séquences des moments soient les mêmes implique de diviser en parties $f$

$\frac{1}{24}\exp(-x^{1/4}) -\alpha \frac{1}{24}\exp(-x^{1/4})\sin(x^{1/4})$

puis en montrant que la deuxième partie contribue à 0 à chaque instant, ils sont donc tous les mêmes que les moments de la première partie.

$\alpha=0$ $\alpha=0.5$

exemple de mêmes moments, de densités différentes

Mieux encore, peut-être, pour avoir pris une plage beaucoup plus grande et utilisé une échelle de quatrième racine sur l'axe des x, rendant la courbe bleue droite, et la verte se déplaçant comme une courbe sin au-dessus et en dessous, quelque chose comme ça:

entrez la description de l'image ici

Les oscillations au-dessus et au-dessous de la courbe bleue - qu'elles soient de plus grande ou de plus petite ampleur - s'avèrent ne pas modifier tous les moments entiers positifs.

$X_1,X_2$ $\alpha$ $X_1$ $-X_2$

— Glen_b -Reinstate Monica
source

Merci! Dans votre réponse à ma deuxième question, que signifie «pour certaines valeurs de« même »»? Pouvez-vous donner des contre-exemples à ma première question?

— Tim

C'est simplement une référence à la qualification nécessaire causée par le «presque partout» qui est dans la question précédente. Ainsi, les contre-exemples pouvaient examiner des fonctions de densité qui étaient les mêmes presque partout mais différaient à un sous-ensemble dénombrable de points - je vous ai déjà donné un exemple précédemment.

— Glen_b -Reinstate Monica

Pour ma première question, (selon votre réponse oui à ma deuxième question et à ma question dans mon post précédent), tous les contre-exemples appartiennent-ils au cas où les deux distributions n'admettent pas toutes les fonctions de génération de moment?

— Tim

Le fait qu'il en soit ainsi est une conséquence de l'énoncé "Si le mgf est fini dans un intervalle ouvert contenant zéro, alors la distribution associée est caractérisée par ses moments" dans la réponse du cardinal, je crois que je l'ai liée. Si un mgf n'est pas fini dans ce sens, c'est la seule façon pour la distribution de ne pas être caractérisée par ses moments.

— Glen_b -Reinstate Monica

On a répondu à la première question sur stats.stackexchange.com/questions/25010/… et dans la récente question du PO sur stats.stackexchange.com/questions/84158/… . L'exemple de Feller est attribué à Stieltjes (bien avant l'époque de Feller) dans Stuart & Ord.

— whuber