Identité des fonctions génératrices de moments

Y a-t-il des distributions non identiques qui ont la même fonction de génération de moment?

Oui.

Dans un exercice, Stuart & Ord ( Théorie de la statistique avancée de Kendall .., 5ème Ed, Ex 3,12) citent un résultat 1918 de TJ Stieltjes (qui semble apparemment dans son Œuvres Complètes , ):

Si est une fonction impaire de la période , montrez que$f$$\frac{1}{2}$

$$\int_0^\infty x^r x^{-\log x} f(\log x) dx = 0$$

pour toutes les valeurs intégrales de . Montrer donc que les distributions$r$

$$dF = x^{-\log x}(1 - \lambda \sin(4\pi \log x))\ dx, \quad 0 \le x \lt \infty;\quad 0 \le |\lambda| \le 1,$$

avoir les mêmes moments quelle que soit la valeur de .$\lambda$

(Dans l'original, n'apparaît que sous la forme ; la restriction sur la taille de découle de l'obligation de conserver toutes les valeurs de la fonction de densité non négatives.) L'exercice est facile à résoudre via la substitution et en complétant le carré. Le cas est la distribution log - normale bien connue .$|\lambda|$$\lambda$$\lambda$$dF$$x = \exp(y)$$\lambda=0$

La courbe bleue correspond à , une distribution log-normale. Pour la courbe rouge, et pour la courbe or, .λ = - 1 / quatre λ = 1 /$\lambda=0$$\lambda = -1/4$$\lambda = 1/2$