Combiner les informations de plusieurs études pour estimer la moyenne et la variance des données normalement distribuées - approches bayésienne vs méta-analytique

J'ai examiné un ensemble d'articles, chacun indiquant la moyenne et l'écart-type observés d'une mesure de dans son échantillon respectif de taille connue, . Je veux faire la meilleure supposition possible sur la distribution probable de la même mesure dans une nouvelle étude que je suis en train de concevoir, et sur le degré d'incertitude de cette supposition. Je suis heureux de supposer ).$X$$n$$X \sim N(\mu, \sigma^2$

Ma première pensée a été la méta-analyse, mais les modèles généralement utilisés se concentrent sur les estimations ponctuelles et les intervalles de confiance correspondants. Cependant, je veux dire quelque chose sur la distribution complète de , qui dans ce cas inclurait également faire une supposition sur la variance, . $X$$\sigma^2$

J'ai lu sur les approches Bayeisan possibles pour estimer l'ensemble complet des paramètres d'une distribution donnée à la lumière des connaissances antérieures. Cela a généralement plus de sens pour moi, mais je n'ai aucune expérience avec l'analyse bayésienne. Cela semble également être un problème simple et relativement simple pour me couper les dents.

1) Compte tenu de mon problème, quelle approche est la plus logique et pourquoi? Méta-analyse ou approche bayésienne?

2) Si vous pensez que l'approche bayésienne est la meilleure, pouvez-vous m'indiquer un moyen de mettre en œuvre cela (de préférence en R)?

Question connexe

MODIFICATIONS:

J'ai essayé de résoudre ce problème à mon avis de manière «simple» bayésienne.

Comme je l'ai dit plus haut, je ne m'intéresse pas seulement à la moyenne estimée, , mais aussi à la variance, , à la lumière des informations antérieures, c'est-à-dire$\mu$$\sigma^2$$P(\mu, \sigma^2|Y)$

Encore une fois, je ne sais rien du bayéianisme dans la pratique, mais il n'a pas fallu longtemps pour constater que le postérieur d'une distribution normale avec une moyenne et une variance inconnues a une solution de forme fermée via la conjugaison , avec la distribution gamma normale-inverse.

Le problème est reformulé comme .$P(\mu, \sigma^2|Y) = P(\mu|\sigma^2, Y)P(\sigma^2|Y)$

$P(\mu|\sigma^2, Y)$ est estimé avec une distribution normale; avec une distribution gamma inverse.$P(\sigma^2|Y)$

Il m'a fallu un certain temps pour comprendre, mais à partir de ces liens ( 1 , 2 ) j'ai pu, je pense, trier comment faire cela dans R.

J'ai commencé avec un bloc de données composé d'une ligne pour chacune des 33 études / échantillons et de colonnes pour la moyenne, la variance et la taille de l'échantillon. J'ai utilisé la moyenne, la variance et la taille de l'échantillon de la première étude, à la ligne 1, comme information préalable. J'ai ensuite mis à jour cela avec les informations de la prochaine étude, calculé les paramètres pertinents et échantillonné à partir du gamma normal-inverse pour obtenir la distribution de et . Cela se répète jusqu'à ce que les 33 études aient été incluses.$\mu$$\sigma^2$

# Loop start values values

  i <- 2
  k <- 1

# Results go here

  muL      <- list()  # mean of the estimated mean distribution
  varL     <- list()  # variance of the estimated mean distribution
  nL       <- list()  # sample size
  eVarL    <- list()  # mean of the estimated variance distribution
  distL    <- list()  # sampling 10k times from the mean and variance distributions

# Priors, taken from the study in row 1 of the data frame

  muPrior  <- bayesDf[1, 14]    # Starting mean
  nPrior   <- bayesDf[1, 10]    # Starting sample size
  varPrior <- bayesDf[1, 16]^2  # Starting variance

  for (i in 2:nrow(bayesDf)){

# "New" Data, Sufficient Statistics needed for parameter estimation

    muSamp    <- bayesDf[i, 14]          # mean
    nSamp     <- bayesDf[i, 10]          # sample size
    sumSqSamp <- bayesDf[i, 16]^2*(nSamp-1)  # sum of squares (variance * (n-1))

# Posteriors

    nPost   <- nPrior + nSamp
    muPost  <- (nPrior * muPrior + nSamp * muSamp) / (nPost)  
    sPost   <- (nPrior * varPrior) + 
                sumSqSamp + 
               ((nPrior * nSamp) / (nPost)) * ((muSamp - muPrior)^2)
    varPost <- sPost/nPost
    bPost   <- (nPrior * varPrior) + 
                sumSqSamp + 
               (nPrior * nSamp /  (nPost)) * ((muPrior - muSamp)^2)
# Update 

    muPrior   <- muPost
    nPrior    <- nPost
    varPrior  <- varPost

# Store

    muL[[i]]   <-  muPost
    varL[[i]]  <-  varPost
    nL[[i]]    <-  nPost
    eVarL[[i]] <- (bPost/2) / ((nPost/2) - 1)

# Sample

    muDistL  <- list()  
    varDistL <- list()

    for (j in 1:10000){
      varDistL[[j]] <- 1/rgamma(1, nPost/2, bPost/2)
      v             <- 1/rgamma(1, nPost/2, bPost/2)
      muDistL[[j]]  <- rnorm(1, muPost, v/nPost)
    }

# Store 

    varDist    <- do.call(rbind, varDistL)
    muDist     <- do.call(rbind, muDistL)
    dist       <- as.data.frame(cbind(varDist, muDist))
    distL[[k]] <- dist

# Advance

    k <- k+1 
    i <- i+1

  }

  var     <- do.call(rbind, varL)
  mu      <- do.call(rbind, muL)
  n       <- do.call(rbind, nL)
  eVar    <- do.call(rbind, eVarL)
  normsDf <- as.data.frame(cbind(mu, var, eVar, n)) 
  colnames(seDf) <- c("mu", "var", "evar", "n")
  normsDf$order <- c(1:33)

Voici un diagramme de chemin montrant comment l' et l' changent à mesure que chaque nouvel échantillon est ajouté.$E(\mu)$$E(\sigma^2)$

Voici les desnités basées sur l'échantillonnage à partir des distributions estimées pour la moyenne et la variance à chaque mise à jour.

Je voulais juste ajouter cela au cas où cela serait utile pour quelqu'un d'autre, et pour que les personnes informées puissent me dire si cela était sensé, défectueux, etc.

Les deux approches (méta-analyse et mise à jour bayésienne) ne sont pas vraiment distinctes. Les modèles méta-analytiques sont en fait souvent définis comme des modèles bayésiens, car l'idée d'ajouter des preuves à des connaissances antérieures (peut-être assez vagues) sur le phénomène en question se prête naturellement à une méta-analyse. Un article qui décrit cette connexion est:

Brannick, MT (2001). Implications de la méta-analyse empirique de Bayes pour la validation des tests. Journal of Applied Psychology, 86 (3) , 468-480.

(L'auteur utilise des corrélations comme mesure des résultats pour la méta-analyse, mais le principe est le même quelle que soit la mesure).

Un article plus général sur les méthodes bayésiennes de méta-analyse serait:

Sutton, AJ et Abrams, KR (2001). Méthodes bayésiennes en méta-analyse et synthèse des preuves. Méthodes statistiques en recherche médicale, 10 (4) , 277-303.

Ce que vous semblez rechercher (en plus d'une estimation combinée) est un intervalle de prédiction / crédibilité qui décrit où, dans une future étude, le véritable résultat / effet est susceptible de tomber. On peut obtenir un tel intervalle à partir d'une méta-analyse "traditionnelle" ou d'un modèle méta-analytique bayésien. L'approche traditionnelle est décrite, par exemple, dans:

Riley, RD, Higgins, JP et Deeks, JJ (2011). Interprétation des méta-analyses à effets aléatoires. British Medical Journal, 342 , d549.

$\theta_i$$\theta_i$$i$$\theta_i$

$y_{ij} \sim N(\mu, \sigma^2)$$i = 1,...n_j$$j = 1,...,K$$\mu$

$$\hat\mu = \frac{1}{N} \sum_{j=1}^K n_j \bar{y}_j,\qquad N = \sum_{j=1}^K n_j.$$ $\sigma$$\sigma^2$ $$\tilde\sigma^2 = \frac{1}{N - K}\sum_{j=1}^K (n_j - 1) s_j^2$$ $N$$K$