La régression de Cox a-t-elle une distribution de Poisson sous-jacente?

Notre petite équipe a eu une discussion et est restée coincée. Quelqu'un sait-il si la régression de Cox a une distribution de Poisson sous-jacente? Nous avons eu un débat sur le fait que la régression de Cox avec un temps de risque constant pourrait avoir des similitudes avec la régression de Poisson avec une variance robuste. Des idées?

Oui, il existe un lien entre ces deux modèles de régression. En voici une illustration:

Supposons que l'aléa de référence soit constant dans le temps: . Dans ce cas, la fonction de survie est$h_{0}(t) = \lambda$

$S(t) = \exp\left(-\int_{0}^{t} \lambda du\right) = \exp(-\lambda t)$

et la fonction de densité est

$f(t) = h(t) S(t) = \lambda \exp(-\lambda t)$

Ceci est le pdf d'une variable aléatoire exponentielle avec l'attente .$\lambda^{-1}$

Une telle configuration donne le modèle de Cox paramétrique suivant (avec des notations évidentes):

$h_{i}(t) = \lambda \exp(x'_{i} \beta)$

Dans le cadre paramétrique, les paramètres sont estimés en utilisant la méthode classique de vraisemblance. La log-vraisemblance est donnée par

$l = \sum_{i} \left\{ d_{i}\log(h_{i}(t_{i})) - t_{i} h_{i}(t_{i}) \right\}$

où est l'indicateur d'événement.$d_{i}$

Jusqu'à une constante additive, ce n'est rien d'autre que la même expression que la log-vraisemblance des considérés comme des réalisations d'une variable de Poisson avec une moyenne .$d_{i}$$\mu_{i} = t_{i}h_{i}(t)$

Par conséquent, on peut obtenir des estimations en utilisant le modèle de Poisson suivant:

$\log(\mu_{i}) = \log(t_{i}) + \beta_0 + x_{i}'\beta$

où .$\beta_0 = \log(\lambda)$