Valeur attendue de la statistique de commande minimale d'un échantillon normal

MISE À JOUR 25 janvier 2014: l'erreur est maintenant corrigée. Veuillez ignorer les valeurs calculées de la valeur attendue dans l'image téléchargée - elles sont erronées - je ne supprime pas l'image car elle a généré une réponse à cette question.

MISE À JOUR 10 janvier 2014: l'erreur a été trouvée - une faute de frappe mathématique dans l'une des sources utilisées. Préparation de la correction ...

La densité de la statistique d'ordre minimum d'une collection de iid variables aléatoires continues avec cdf F_X (x) et pdf f_X (x) est f_ {X _ {(1)}} (x _ {(1)}) = nf_X (x_ {(1)}) \ gauche [1-F_X (x _ {(1)}) \ droite] ^ {n-1} \ qquad [1]$n$$F_X(x)$$f_X(x)$

$$f_{X_{(1)}}(x_{(1)}) = nf_X(x_{(1)})\left[1-F_X(x_{(1)})\right]^{n-1} \qquad [1]$$

Si ces variables aléatoires sont normales normales, alors

$$f_{X_{(1)}}(x_{(1)}) = n\phi(x_{(1)})\left[1-\Phi(x_{(1)})\right]^{n-1} = n\phi(x_{(1)})\left[\Phi(-x_{(1)})\right]^{n-1}\qquad [2]$$ et donc sa valeur attendue est $$E\left(X_{(1)}\right) = n\int_{-\infty}^{\infty}x_{(1)}\phi(x_{(1)})\left[\Phi(-x_{(1)})\right]^{n-1}dx_{(1)}\qquad [3]$$

où nous avons utilisé les propriétés symétriques de la normale standard. Dans Owen 1980 , p.402, éq. [ N, 011 ] nous constatons que

$$\int_{-\infty}^{\infty}z\phi(z)\left[\Phi(az)\right]^m dz= \frac {am}{(\sqrt {a^2+1})(\sqrt {2\pi})}\int_{-\infty}^{\infty}\phi(z)\left[\Phi\left(\frac {az}{\sqrt {a^2+1}}\right)\right]^{m-1}dz\qquad [4]$$

Correspondance des paramètres entre les équations $[3]$ et $[4]$ ( $a=-1$ , $m=n-1$ ) que nous obtenons

$$E\left(X_{(1)}\right) = -\frac {n(n-1)}{2\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\phi(x_{(1)})\left[\Phi\left(\frac {-x_{(1)}}{\sqrt 2}\right)\right]^{n-2}dx_{(1)}\qquad [5]$$

Toujours dans Owen 1980, p. 409, eq [ n0,010.2 ] nous constatons que

$$\int_{-\infty}^{\infty}\left[\prod_{i=1}^{m}\Phi\left(\frac{h_i-d_iz}{\sqrt {1-d_i^2}}\right)\right] \phi(z)dz= \mathcal Z_m(h_1,...,h_m;\{\rho_{ij}\})\qquad [6]$$

où est la normale multivariée standard, est les coefficients de corrélation par paire et .$\mathcal Z_m()$$\rho_{ij}=d_id_j,\; i\neq j$$-1\le d_i\le 1$

En faisant correspondre et nous avons, , et $[5]$$[6]$$m=n-2$$h_i=0,\;\forall i$

$$\frac{d_i}{\sqrt {1-d_i^2}} = \frac 1{\sqrt 2} \Rightarrow d_i = \pm \frac 1{\sqrt 3} \forall i \Rightarrow \rho_{ij} = \rho = 1/3$$

En utilisant ces résultats, eq devient$[5]$

$$E\left(X_{(1)}\right) = -\frac {n(n-1)}{2\sqrt{\pi}}\mathcal Z_{n-2}(0,...,0;\rho=1/3)\qquad [7]$$

Cette intégrale de probabilité normale standard multivaririée de variables équi-corrélées, toutes évaluées à zéro , a fait l'objet de suffisamment de recherches, et diverses méthodes pour l'approcher et la calculer ont été dérivées. Un examen approfondi (lié au calcul des intégrales de probabilités normales multivariées en général) est Gupta (1963) . Gupta fournit des valeurs explicites pour divers coefficients de corrélation et pour un maximum de 12 variables (il couvre donc une collection de 14 variables). Les résultats sont (LA DERNIÈRE COLONNE EST FAUX) :

Maintenant, si nous représentons graphiquement comment la valeur de change avec , nous obtiendrons$\mathcal Z_{n-2}(0,...,0;\rho=1/3)$$n$

J'arrive donc à mes trois questions / demandes:
1) Quelqu'un pourrait-il vérifier analytiquement et / ou vérifier par simulation que les résultats pour la valeur attendue sont corrects (c'est-à-dire vérifier la validité de l'eq )?$[7]$

2) En supposant que l'approche est correcte, quelqu'un pourrait-il donner la solution pour les normales avec une variance moyenne et non unitaire non nulle? Avec toutes les transformations, je me sens vraiment étourdi.

3) La valeur de l'intégrale de probabilité semble évoluer en douceur. Que diriez-vous de l'approcher avec une fonction de ?$n$

Vos résultats ne semblent pas corrects. Ceci est facile à voir, sans aucun calcul, car dans votre tableau, votre augmente avec la taille de l'échantillon ; de toute évidence, la valeur attendue du minimum de l'échantillon doit devenir plus petite (c'est-à-dire devenir plus négative) à mesure que la taille de l'échantillon augmente.$E[X_{(1)}]$ $n$$n$

Le problème est conceptuellement assez facile.

En bref: si ~ avec pdf :$X$$N(0,1)$$f(x)$

... alors le pdf de la statistique du 1er ordre (dans un échantillon de taille ) est:$n$

... obtenu ici en utilisant la OrderStatfonction in mathStatica, avec domaine de support:

Alors, , pour peut être facilement obtenu exactement comme:$E[X_{(1)}]$$n = 1,2,3$

Le cas exact est d'environ , ce qui est évidemment différent de vos travaux de -1,06 (ligne 1 de votre tableau), il semble donc clair que quelque chose ne va pas avec vos travaux (ou peut-être ma compréhension de ce que vous cherchez) .$n = 3$$-0.846284$

Pour , l'obtention de solutions de forme fermée est plus délicate, mais même si l'intégration symbolique s'avère difficile, nous pouvons toujours utiliser l'intégration numérique (avec une précision arbitraire si vous le souhaitez). C'est vraiment très facile ... ici, par exemple, est , pour la taille d'échantillon à 14, en utilisant Mathematica :$n \ge 4$$E[X_{(1)}]$$n = 1$

 sol = Table[NIntegrate[x g, {x, -Infinity, Infinity}], {n, 1, 14}]

{0., -0.56419, -0.846284, -1.02938, -1.16296, -1.26721, -1.35218, -1.4236, -1.48501, -1.53875, -1.58644, -1.62923, -1.66799, -1.70338}

Terminé. Ces valeurs sont évidemment très différentes de celles de votre tableau (colonne de droite).

Pour considérer le cas plus général d'un parent , procédez exactement comme ci-dessus, en commençant par le pdf Normal normal.$N(\mu, \sigma^2)$