Weibull Distribution contre Gamma Distribution

Quelle est la différence entre l'intuition derrière les distributions Gamma et Weibull? Existe-t-il une relation entre les deux densités?

Aide aimablement.

gamma-distribution weibull

— Vani
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Les distributions gamma et Weibull peuvent être considérées comme des généralisations de la distribution exponentielle. Si nous considérons la distribution exponentielle comme décrivant le temps d'attente d'un processus de Poisson (le temps que nous devons attendre jusqu'à ce qu'un événement se produise, si cet événement est également susceptible de se produire dans n'importe quel intervalle de temps), alors le distribution décrit le temps que nous devons attendre pour que événements indépendants se produisent. $\Gamma(k, \theta)$ $k$

D'un autre côté, la distribution de Weibull décrit efficacement le temps que nous devons attendre pour qu'un événement se produise, si cet événement devient plus ou moins probable avec le temps. Ici, le paramètre décrit la vitesse à laquelle la probabilité augmente (proportionnelle à ). $k$ $t^{k-1}$

Nous pouvons voir la différence d'effet en regardant les pdfs des deux distributions. Ignorer toutes les constantes de normalisation:

F_{Γ} (X) \propto X^{k - 1} \exp (- \frac{X}{θ}) F_{W} (X) \propto X^{k - 1} \exp (- {(\frac{X}{λ})}^{k})

$f_{\Gamma}(x) \propto x^{k-1} \exp\left(-\frac{x}{\theta}\right) \\ f_{W}(x) \propto x^{k-1} \exp\left(-\left(\frac{x}{\lambda}\right)^k\right)$

Comme vous pouvez le voir, le pdf de la distribution de Weibull diminue beaucoup plus rapidement (pour ) ou lentement (pour ) que la distribution gamma. Dans le cas où , ils se réduisent tous les deux à la distribution exponentielle. $k > 1$ $k < 1$ $k = 1$

— Martin O'Leary
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C'est très utile! Naturellement, les deux distributions sont souvent utilisées pour des variables autres que le temps d'attente, de sorte que la dérivation et la motivation peuvent être très différentes. Sur une note différente, Weibull et Poisson méritent leurs majuscules initiales parce qu'ils portent le nom de personnes, mais de nombreuses discussions (j'oserais le plus) sur l'exponentielle et le gamma n'utilisent pas de majuscules initiales.

— Nick Cox

Correction de la capitalisation - J'étais fatigué quand j'ai écrit la réponse, et l'OP avait capitalisé Gamma, alors j'ai couru avec. Vous avez bien sûr raison de dire que toutes les utilisations de ces distributions ne sont pas un temps d'attente, mais je pense que cela fournit la meilleure intuition. S'il y a une autre bonne façon d'y penser, j'adorerais l'entendre.

— Martin O'Leary

Je n'ai pas de meilleure histoire générale! La capitalisation (par exemple gamma / Gamma) est naturellement une question de convention lorsque les noms de famille ne sont pas impliqués.

— Nick Cox