Propriété d'invariance de MLE: quel est le MLE de de normal, ?

Propriété d'invariance de MLE: si est le MLE de , alors pour toute fonction , le MLE de est . $\hat{\theta}$$\theta$$f(\theta)$$f(\theta)$$f(\hat{\theta})$

De plus, doit être une fonction biunivoque.$f$

Le livre dit: "Par exemple, pour estimer , le carré d'une moyenne normale, la cartographie n'est pas biunivoque." Donc, nous ne pouvons pas utiliser la propriété d'invariance.${\theta}^2$

Mais ensuite, cela prouve la propriété et dit: "nous voyons maintenant que MLE de , le carré d'une moyenne normale est ".$\theta^2$$\bar{x}^2$

Cela semble contradictoire, nous sommes au carré , mais le carré de quoi que ce soit n'est pas un à un, qu'est-ce que je lis mal ici? Merci!$\bar{x}$

source: Casella & Berger "Inférence statistique"

Ce n'est pas exactement ce que disent Casella et Berger. Ils reconnaissent (page 319) que lorsque la transformation est biunivoque, la preuve de la propriété d'invariance est très simple. Mais ensuite, ils étendent la propriété d'invariance à des transformations arbitraires des paramètres introduisant une fonction de vraisemblance induite à la page 320. Le théorème 7.2.10 sur la même page donne la preuve de la propriété étendue. Par conséquent, aucune contradiction ici.

De la page 350 de «Probabilité et inférence statistique» :