Condition nécessaire et suffisante à la MGF conjointe pour l'indépendance

Supposons que j'ai une fonction de génération de moment conjoint pour une distribution conjointe avec CDF . Est-ce que fois nécessaire et suffisant $M_{X,Y}(s,t)$ $F_{X,Y}(x,y)$ $M_{X,Y}(s,t)=M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)$ condition d'indépendance de et ? J'ai vérifié quelques manuels, qui ne mentionnaient que la nécessité: $X$ $Y$

F_{X, Y} (x, y) = F_{X} (x) \cdot F_{Y} (y) ⟹ M_{X, Y} (s, t) = M_{X} (s) \cdot M_{Y} (t)

$F_{X,Y}(x,y)=F_X(x)\cdot F_Y(y) \implies M_{X,Y}(s,t)=M_X(s) \cdot M_Y(t)$

Ce résultat est clair car l'indépendance implique . Étant donné que les MGF des marginaux sont déterminés par le MGF conjoint, nous avons: $M_{X,Y}(s,t)=\mathbb{E}(e^{sX+tY})=\mathbb{E}(e^{sX}) \mathbb{E}(e^{tY})$

X, Y independent ⟹ M_{X, Y} (s, t) = M_{X, Y} (s, 0) \cdot M_{X, Y} (0, t)

$X,Y\text{ independent} \implies M_{X,Y}(s,t)=M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)$

Mais après avoir cherché en ligne, je n'ai trouvé qu'une référence éphémère, sans preuve, à l'inverse . L'esquisse suivante est-elle réalisable?

Étant donné une MGF commune , cela détermine uniquement les distributions marginales de et et de leurs MGF, et $M_{X,Y}(s,t)$ $X$ $Y$ $M_X(s)=M_{X,Y}(s,0)$ $M_Y(t)=M_{X,Y}(0,t)$ . Les marginaux seuls sont compatibles avec de nombreuses autres distributions conjointes possibles et déterminent uniquement une distribution conjointe dans laquelle et sont indépendants, avec CDF et MGF: $X$ $Y$ $F_{X,Y}^{\text{ind}}(x,y)=F_X(x) \cdot F_Y(y)$

M_{X, Y}^{ind} (s, t) = M_{X} (s) \cdot M_{Y} (t) = M_{X, Y} (s, 0) \cdot M_{X, Y} (0, t)

$M_{X,Y}^{\text{ind}}(s,t) = M_X(s) \cdot M_Y(t) = M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)$

$M_{X,Y}(s,t) = M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)$ $M_{X,Y}(s,t) = M_{X,Y}^{\text{ind}}(s,t)$ $F_{X,Y}(x,y) = F_{X,Y}^{\text{ind}}(x,y) = F_X(x) \cdot F_Y(y)$ $X$ $Y$

— Silverfish
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Oui, c'est la condition nécessaire et suffisante pour l'indépendance non seulement pour deux variables aléatoires mais aussi pour une séquence (finie) de variables aléatoires. Consultez par exemple P.2 à la page 242 de Probability with Statistical Applications , par Rinaldo B. Schinazi. Ou à la page 259 de l' analyse économétrique des données de comptage qui est basée sur la fonction de génération de probabilité. Il suffit de noter que "la fonction de génération de moment n'existe pas toujours".

— Stat
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Merci pour les références solides. Oui, j'ai pris soin de déclarer que le MGF d'origine avait été donné au début et j'ai essayé de me rappeler de démontrer que tout autre MGF auquel j'ai fait référence existait en conséquence avant de faire quoi que ce soit avec! Quelles stratégies de preuve ont été utilisées dans vos arbitres?

— Silverfish

Avez-vous lu le paragraphe juste après P2 dans ma 1ère référence?

— Stat

Ah oui - c'est l'extension de ma preuve suggérée aux vecteurs. Comparer le MGF de la distribution donnée avec le MGF où les composants étaient indépendants; comme ils sont les mêmes et que les MGF déterminent uniquement la distribution conjointe, la distribution conjointe est indépendante.

— Silverfish