Conversion des bêtas normalisés en variables d'origine

Je me rends compte que c'est probablement une question très simple, mais après avoir cherché, je ne trouve pas la réponse que je cherche.

J'ai un problème où j'ai besoin de normaliser les variables exécutez la (régression de crête) pour calculer les estimations de crête des bêtas.

J'ai ensuite besoin de les reconvertir à l'échelle des variables d'origine.

Mais comment dois-je procéder?

J'ai trouvé une formule pour le cas bivarié

β^{*} = \hat{β} \frac{S_{x}}{S_{y}} .

$\beta^* = \hat\beta \frac{S_x}{S_y} \>.$

Cela a été donné dans D. Gujarati, Basic Econometrics , page 175, formule (6.3.8).

Où sont les estimateurs de la piste de régression sur les variables normalisées et est le même estimateur reconverti à l'échelle d' origine, est l'écart type échantillon de la variable dépendante, et est l'écart type d' échantillon. $\beta^*$ $\hat\beta$ $S_y$ $S_x$

Malheureusement, le livre ne couvre pas le résultat analogue d'une régression multiple.

De plus, je ne suis pas sûr de comprendre le cas bivarié? Manipulation algébrique simple donne la formule pour dans l'échelle d' origine: $\hat\beta$

\hat{β} = β^{*} \frac{S_{y}}{S_{x}}

$\hat\beta=\beta^* \frac{S_y}{S_x}$

Il me semble étrange que la qui ont été calculées sur les variables qui sont déjà dégonflé par , doit être dégonflé par à nouveau être convertie? (De plus, pourquoi les valeurs moyennes ne sont-elles pas ajoutées à nouveau?) $\hat\beta$ $S_x$ $S_x$

Alors, quelqu'un peut-il expliquer comment faire cela pour un cas multivarié idéalement avec une dérivation afin que je puisse comprendre le résultat?

— Baz
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Pour le modèle de régression utilisant les variables standardisées, nous supposons la forme suivante pour la droite de régression

E [Y] = β_{0} + \sum_{j = 1}^{k} β_{j} z_{j},

$\mathbb E[Y] =\beta_{0}+\sum_{j=1}^{k}\beta_{j}z_{j},$

$z_{j}$ $x_j$ $\bar x_j$ $S_j$

z_{j} = \frac{x_{j} - {\bar{x}}_{j}}{S_{j}}

$z_j = \frac{x_j - \bar{x}_j}{S_j}$

En effectuant la régression avec les régresseurs standardisés, on obtient la droite de régression ajustée:

\hat{Y} = {\hat{β}}_{0} + \sum_{j = 1}^{k} {\hat{β}}_{j} z_{j}

$\hat Y = \hat \beta_0 +\sum_{j=1}^{k} \hat \beta_{j}z_{j}$

Nous souhaitons maintenant trouver les coefficients de régression pour les prédicteurs non standardisés. On a

\hat{Y} = {\hat{β}}_{0} + \sum_{j = 1}^{k} {\hat{β}}_{j} (\frac{x_{j} - {\bar{x}}_{j}}{S_{j}})

$\hat Y = \hat \beta_0 +\sum_{j=1}^{k} \hat \beta_{j}\left(\frac{x_j - \bar{x}_j}{S_j}\right)$

En réarrangeant, cette expression peut s'écrire

\hat{Y} = ({\hat{β}}_{0} - \sum_{j = 1}^{k} {\hat{β}}_{j} \frac{{\bar{x}}_{j}}{S_{j}}) + \sum_{j = 1}^{k} (\frac{{\hat{β}}_{j}}{S_{j}}) x_{j}

$\hat Y = \left( \hat \beta_0 - \sum_{j=1}^k \hat \beta_j \frac{\bar x_j}{S_j} \right) + \sum_{j=1}^k \left(\frac{\hat \beta_j}{S_j}\right) x_j$

$\hat \beta_0 - \sum_{j=1}^k \hat \beta_j \frac{\bar x_j}{S_j}$ $j$ $\frac{\hat \beta_j}{S_j}$

Dans le cas présenté, j'ai supposé que seuls les prédicteurs avaient été standardisés. Si l'on standardise également la variable de réponse, la reconversion des coefficients de covariable à l'échelle d'origine se fait en utilisant la formule de la référence que vous avez donnée. On a:

\frac{E [Y] - \hat{y}}{S_{y}} = β_{0} + \sum_{j = 1}^{k} β_{j} z_{j}

$\frac{\mathbb E[Y] - \hat y}{S_y} =\beta_{0}+\sum_{j=1}^{k}\beta_{j}z_{j}$

En effectuant la régression, nous obtenons l'équation de régression ajustée

{\hat{Y}}_{s c a l e d} = \frac{{\hat{Y}}_{u n s c a l e d} - \bar{y}}{S_{y}} = {\hat{β}}_{0} + \sum_{j = 1}^{k} {\hat{β}}_{j} (\frac{x_{j} - {\bar{x}}_{j}}{S_{j}}),

$\hat Y_{scaled} = \frac{\hat Y_{unscaled} - \bar y}{S_y} = \hat \beta_0 +\sum_{j=1}^{k} \hat \beta_{j}\left(\frac{x_j - \bar{x}_j}{S_j}\right),$

$S_y$ $y$

{\hat{Y}}_{u n s c a l e d} = {\hat{β}}_{0} S_{y} + \bar{y} + \sum_{j = 1}^{k} {\hat{β}}_{j} (\frac{S_{y}}{S_{j}}) (x_{j} - {\bar{x}}_{j}) .

$\hat Y_{unscaled} = \hat \beta_0 S_y + \bar y +\sum_{j=1}^{k} \hat \beta_{j}\left(\frac{S_y}{S_j}\right) (x_j - \bar{x}_j).$

Le point d' intersection correspondant au modèle dans lequel ni la réponse ni les prédicteurs ont été normalisés par conséquent , est donnée par $\hat \beta_0 S_y + \bar y - \sum_{j=1}^k \hat \beta_j \frac{S_y}{S_j}\bar x_j$ $S_y / S_j$

— Philipp Burckhardt
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