Vérifier si une densité est une famille exponentielle

Essayer de prouver que cela n'appartient pas à une famille exponentielle.

$f(y|a)=4\frac{(y+a)}{(1+4a)} ; 0 < y < 1 , a>0$

Voici mon approche:

En le comparant au formulaire standard, $h(y) = 4y$ et $g(a)$ qui doit être fonction uniquement de $a$, ne peut pas être défini en termes de $a$ seul, comme $y$ dans le $1+\frac{a}{y}$est inséparable. Est-ce suffisant pour montrer que cette distribution n'appartient pas à une famille exponentielle.

Veuillez revoir mon approche.

Vous avez mis le doigt sur le nœud du problème, et en effet le résultat est assez évident, mais la logique semble un peu décalée. La méthode décrite ci-dessous utilise à plusieurs reprises des logarithmes et la différenciation pour rendre le problème progressivement plus simple, jusqu'à ce qu'il devienne tout à fait trivial.

Par définition, $f$ est le PDF d'une famille exponentielle lorsque son logarithme peut être écrit comme une somme de quelque chose en termes de paramètre ($a$) uniquement, autre chose en termes de données ($y$) seulement, et autre chose qui est le produit d'une fonction de $a$ et une fonction de $y$. Cela signifie que vous êtes libre d'ignorer tous les facteurs qui ne dépendent clairement que du paramètre ou uniquement des données. Dans ce cas, c'est évident$\frac{4}{1+4a}$ ne dépend que de $a$, nous pouvons donc l'ignorer.

Le problème est avec $y+a$. Nous devons prouver qu'il ne peut exister de "belles" fonctions$\eta$ et $T$ tel que $\log(y+a) = \eta(a) T(y)$ plus une fonction de $a$ seul, plus une autre fonction de $y$seul. Cette partie "plus" est ennuyeuse, mais nous pouvons la tuer en différenciant d'abord en ce qui concerne$a$ (la dérivée de toute fonction de $y$ seul sera nul) puis en ce qui concerne $y$ (la dérivée d'une fonction de $a$seul sera nul). Lors de la négation des deux côtés (pour rendre le côté gauche positif), cela donne

Je veux prendre des logarithmes pour simplifier le côté droit (qui, étant égal au côté gauche, est toujours positif). En supposant$\eta'$ et $T'$ sont à la fois continus garantira qu'il y a des intervalles de valeurs pour $a$ et pour $y$ dans lequel soit $-\eta'(a)\gt 0$ et $T'(y)\gt 0$ ou sinon $\eta'(a)\gt 0$ et $-T'(y)\gt 0$. Cela signifie que nous pouvons en effet diviser le côté droit en deux facteurs positifs, ce qui permet d'appliquer le logarithme. Faire ainsi donne

(ou bien une expression comparable avec quelques signes négatifs ajoutés). Maintenant, nous jouons le même jeu: dans les deux cas, différencier les deux parties par rapport aux deux$a$ et $y$ les rendements

une impossibilité.

Avec le recul, cette approche devait supposer à la fois $\eta$ et $T$ont des dérivées secondes dans certains intervalles de leurs arguments. L'analyse peut être effectuée dans le même sens en utilisant des différences finies pour affaiblir ces hypothèses, mais cela ne vaut probablement pas la peine.

Il sera en famille exponentielle s'il peut être écrit en $fh(x)e^{ηT(x)-A(η)}$(avec d'autres conditions).

Laisser $g(x,η)=ηT(x)-A(η)$. Maintenant pour 4 points de données$x_1,x_2,x_3,x_4$ dans l'espace échantillon $\frac{(g(x1,η)-g(x2,η))}{(g(x3,η)-g(x4,η))}$= $\frac{(T(x1)-T(x2))}{(T(x3) - T(x4))}$ , qui est exempt de η.

Nulle part $f(y;a)= 4\frac{y+a}{(4a+1)}$ = $4 e^( ln(y+a)-ln(4a+1) )$. Prendre$g(x,η)=ln(y+a)-ln(4a+1)$.

Donc $\frac{(g(x1,η)-g(x2,η))}{(g(x3,η)-g(x4,η))}$=$\frac{(ln(y1+a)-ln(y2+a))}{(ln(y3+a)-ln(y4+a))}$ - qui n'est pas exempt de. donc$f(y;a)$ n'appartient pas à la famille exponentielle.