Vérifier si une densité est une famille exponentielle


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Essayer de prouver que cela n'appartient pas à une famille exponentielle.

F(y|une)=4(y+une)(1+4une);0<y<1,une>0

Voici mon approche:

F(y|une)=4(y+une)e-log(1+4une)
F(y|une)=(4y)(1+uney)e-log(1+4une)

En le comparant au formulaire standard, h(y)=4y et g(une) qui doit être fonction uniquement de une, ne peut pas être défini en termes de une seul, comme y dans le 1+uneyest inséparable. Est-ce suffisant pour montrer que cette distribution n'appartient pas à une famille exponentielle.

Veuillez revoir mon approche.

Réponses:


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Vous avez mis le doigt sur le nœud du problème, et en effet le résultat est assez évident, mais la logique semble un peu décalée. La méthode décrite ci-dessous utilise à plusieurs reprises des logarithmes et la différenciation pour rendre le problème progressivement plus simple, jusqu'à ce qu'il devienne tout à fait trivial.


Par définition, F est le PDF d'une famille exponentielle lorsque son logarithme peut être écrit comme une somme de quelque chose en termes de paramètre (une) uniquement, autre chose en termes de données (y) seulement, et autre chose qui est le produit d'une fonction de a et une fonction de y. Cela signifie que vous êtes libre d'ignorer tous les facteurs qui ne dépendent clairement que du paramètre ou uniquement des données. Dans ce cas, c'est évident41+4une ne dépend que de une, nous pouvons donc l'ignorer.

Le problème est avec y+une. Nous devons prouver qu'il ne peut exister de "belles" fonctionsη et T tel que Journal(y+une)=η(une)T(y) plus une fonction de une seul, plus une autre fonction de yseul. Cette partie "plus" est ennuyeuse, mais nous pouvons la tuer en différenciant d'abord en ce qui concerneune (la dérivée de toute fonction de y seul sera nul) puis en ce qui concerne y (la dérivée d'une fonction de uneseul sera nul). Lors de la négation des deux côtés (pour rendre le côté gauche positif), cela donne

-2uneyJournal(y+une)=1(une+y)2=-η(une)T(y).

Je veux prendre des logarithmes pour simplifier le côté droit (qui, étant égal au côté gauche, est toujours positif). En supposantη et T sont à la fois continus garantira qu'il y a des intervalles de valeurs pour une et pour y dans lequel soit -η(une)>0 et T(y)>0 ou sinon η(une)>0 et -T(y)>0. Cela signifie que nous pouvons en effet diviser le côté droit en deux facteurs positifs, ce qui permet d'appliquer le logarithme. Faire ainsi donne

-2Journal(une+y)=Journal1(une+y)2=Journal(-η(une)T(y))=Journal(-η(une))+Journal(T(y))

(ou bien une expression comparable avec quelques signes négatifs ajoutés). Maintenant, nous jouons le même jeu: dans les deux cas, différencier les deux parties par rapport aux deuxune et y les rendements

2(une+y)2=0,

une impossibilité.

Avec le recul, cette approche devait supposer à la fois η et Tont des dérivées secondes dans certains intervalles de leurs arguments. L'analyse peut être effectuée dans le même sens en utilisant des différences finies pour affaiblir ces hypothèses, mais cela ne vaut probablement pas la peine.


Ma notation est celle de Wikipedia, qui répertorie également un ensemble de règles pour identifier les familles exponentielles. . Les méthodes illustrées ici peuvent être utilisées pour justifier ces règles.
whuber

2
Belle analyse; l'utilisation de deuxièmes dérivées partielles mixtes rappelle quelque peu les critères permettant de vérifier si les fonctions sont "nomogrammables", au moins sous des formes particulières (ce qui implique également une séparation similaire).
Glen_b -Reinstate Monica

Merci @Glen_b. Elle rappelle également plus que l'analyse des interactions dans les tableaux bidirectionnels. C'est la version à différences finies. ;-)
whuber

Oui; c'est aussi une connexion que j'ai exploitée en jouant avec les nomogrammes.
Glen_b -Reinstate Monica

@whuber Merci pour votre explication. Mais j'ai du mal à comprendre pourquoi prenons-nous des dérivées partielles et reprenons le journal. Y a-t-il une possibilité que ceci soit résolu en définissant une fonction d'indicateur pour y qui dépendrait toujours de a.
user30438

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Il sera en famille exponentielle s'il peut être écrit en fh(x)eηT(x)A(η)(avec d'autres conditions).


Laisser g(x,η)=ηT(x)A(η). Maintenant pour 4 points de donnéesx1,x2,x3,x4 dans l'espace échantillon (g(x1,η)g(x2,η))(g(x3,η)g(x4,η))= (T(X1)-T(X2))(T(X3)-T(X4)) , qui est exempt de η.

Nulle part F(y;une)=4y+une(4une+1) = 4e(ln(y+une)-ln(4une+1)). Prendreg(X,η)=ln(y+une)-ln(4une+1).


Donc (g(X1,η)-g(X2,η))(g(X3,η)-g(X4,η))=(ln(y1+une)-ln(y2+une))(ln(y3+une)-ln(y4+une)) - qui n'est pas exempt de. doncF(y;une) n'appartient pas à la famille exponentielle.


+1 J'aime l'approche simple. Il indique clairement comment les différences finies peuvent être utilisées pour isoler le comportement clé desF.
whuber
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