Extraire des points de données de la moyenne mobile?

Est-il possible d'extraire des points de données de données moyennes mobiles?

En d'autres termes, si un ensemble de données n'a que des moyennes mobiles simples des 30 points précédents, est-il possible d'extraire les points de données d'origine?

Si c'est le cas, comment?

+1 à la réponse de fabee, qui est complète. Juste une note pour le traduire en R, basé sur les packages que j'ai trouvés pour effectuer les opérations à portée de main. Dans mon cas, j'avais des données qui sont des prévisions de température de la NOAA sur une base de trois mois: janvier-février-mars, février-mars-avril, mars-avril-mai, etc., et je voulais les détailler (approximativement) valeurs mensuelles, en supposant que la température de chaque période de trois mois est essentiellement une moyenne.

library (Matrix)
library (matrixcalc)

# Feb-Mar-Apr through Nov-Dec-Jan temperature forecasts:

qtemps <- c(46.0, 56.4, 65.8, 73.4, 77.4, 76.2, 69.5, 60.1, 49.5, 41.2)

# Thus I need a 10x12 matrix, which is a band matrix but with the first
# and last rows removed so that each row contains 3 1's, for three months.
# Yeah, the as.matrix and all is a bit obfuscated, but the results of
# band are not what svd.inverse wants.

a <- as.matrix (band (matrix (1, nrow=12, ncol=12), -1, 1)[-c(1, 12),])
ai <- svd.inverse (a)

mtemps <- t(qtemps) %*% t(ai) * 3

Ce qui fonctionne très bien pour moi. Merci @fabee.

EDIT: OK, en rétraduisant mon R en Python, j'obtiens:

from numpy import *
from numpy.linalg import *

qtemps = transpose ([[46.0, 56.4, 65.8, 73.4, 77.4, 76.2, 69.5, 60.1, 49.5, 41.2]])

a = tril (ones ((12, 12)), 2) - tril (ones ((12, 12)), -1)
a = a[0:10,:]

ai = pinv (a)

mtemps = dot (ai, qtemps) * 3

(Ce qui a pris beaucoup plus de temps pour déboguer que la version R. D'abord parce que je ne suis pas aussi familier avec Python qu'avec R, mais aussi parce que R est beaucoup plus utilisable de manière interactive.)

J'essaie de mettre ce que whuber a dit dans une réponse. Disons que vous avez un grand vecteur avec n = 2000 entrées. Si vous calculez une moyenne mobile avec une fenêtre de longueur ℓ = 30 , vous pouvez l'écrire comme une multiplication matricielle vectorielle y = A x du vecteur x avec la matrice$\mathbf x$$n=2000$$\ell=30$$\mathbf y = A\mathbf x$$\mathbf x$

qui en a qui sont décalés à mesure que vous avancez dans les rangées jusqu'à ce que les 30 atteignent l'extrémité de la matrice. Ici, le vecteur moyen y a 1970 dimensions. La matrice a 1970 lignes et 2000 colonnes. Par conséquent, il n'est pas inversible.$30$$30$$\mathbf y$$1970$$2000$

Si vous n'êtes pas familier avec les matrices, pensez-y comme un système d'équations linéaires: vous recherchez des variables $x_1,...,x_{2000}$$y_1$$y_2$

Le problème avec le système d'équations (et la matrice) est qu'il a plus d'inconnues que d'équations. Par conséquent, vous ne pouvez pas identifier de manière unique vos inconnues $x_1,...,x_n$$\mathbf x$$\mathbf y$$\mathbf x$

$A$$30$$30$$A$$A$

Un autre, peut - être plus facile, est d'utiliser la pseudo - de A . Cela génère un vecteur $A^\dagger$$A$$\mathbf z = A^\dagger\mathbf y$$\mathbf x$$\mathbf y$$A\mathbf z$

$2000$$\mathbf x$

De nombreux programmes numériques offrent des pseudo-inverses (par exemple Matlab, numpy en python, etc.).

Voici le code python pour générer les signaux de mon exemple:

from numpy import *
from numpy.linalg import *
from matplotlib.pyplot import *
# get A and its inverse     
A = (tril(ones((2000,2000)),-1) - tril(ones((2000,2000)),-31))/30.
A = A[30:,:]
pA = pinv(A) #pseudo inverse

# get x
x = random.randn(2000) + 5
y = dot(A,x)

# reconstruct
x2 = dot(pA,y)

plot(x,label='original x')
plot(y,label='averaged x')
plot(x2,label='reconstructed x')
legend()
show()

J'espère que cela pourra aider.