Corrélations réalisables pour les variables aléatoires exponentielles

Quelle est la plage de corrélations réalisables pour la paire de variables aléatoires à distribution exponentielle et X_2 \ sim {\ rm Exp} (\ lambda_2) , où \ lambda_1, \ lambda_2> 0 sont les paramètres de débit?$X_1 \sim {\rm Exp}(\lambda_1)$$X_2 \sim {\rm Exp}(\lambda_2)$$\lambda_1, \lambda_2 > 0$

Soit $\rho_{\min}$ (resp. $\rho_{\max}$ ) la borne inférieure (resp. Supérieure) de la corrélation réalisable entre $X_1$ et $X_2$ . Les limites $\rho_{\min}$ et $\rho_{\max}$ sont atteintes lorsque $X_1$ et $X_2$ sont respectivement contre-monotones et comonotoniques (voir ici ).

Limite inférieure
Pour déterminer la limite inférieure nous construisons une paire de variables exponentielles contre-monotoniques et calculons leur corrélation.$\rho_{\min}$

La condition nécessaire et suffisante mentionnée ici et la transformation intégrale de probabilité fournissent un moyen pratique de construire les variables aléatoires et sorte qu'elles soient contre-monotones. Rappelons que la fonction de distribution exponentielle est , donc la fonction quantile est .$X_1$$X_2$
$F(x) = 1 - \exp(-\lambda x)$$F^{-1}(q) = -\lambda^{-1}\log (1-q)$

Soit une variable aléatoire uniformément distribuée, alors est également uniformément distribué et les variables aléatoires ont la distribution exponentielle avec le taux et respectivement. De plus, ils sont contre- puisque et , et les fonctions et augmentent et diminuent respectivement.$U\sim U(0, 1)$$1-U$

$$X_1 = -\lambda_1^{-1}\log (1-U), \quad \text{and } X_2 = -\lambda_2^{-1}\log (U)$$ $\lambda_1$$\lambda_2$$X_1 = h_1(U)$$X_2 = h_2(U)$$h_1(x)=-\lambda_1^{-1}\log (1-x)$$h_2(x)=-\lambda_1^{-1}\log (x)$

Maintenant, calculons la corrélation de et . Par les propriétés de la distribution exponentielle, nous avons , , et . De plus, nous avons où$X_1$$X_2$${\rm E}(X_1) = \lambda_1^{-1}$${\rm E}(X_2) = \lambda_2^{-1}$${\rm var}(X_1) = \lambda_1^{-2}$${\rm var}(X_2) = \lambda_2^{-2}$

$$\begin{align} {\rm E}(X_1 X_2) &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} {\rm E}\{\log (1-U) \log (U)\}\\ &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \int_0^1 \log (1-u) \log (u) f_U(u) {\rm d}u \\ &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \int_0^1 \log (1-u) \log (u) {\rm d}u \\ &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \left (2 - \frac{\pi^2}{6} \right ), \end{align}$$ $f_U(u) \equiv 1$est la fonction de densité de la distribution uniforme standard. Pour la dernière égalité, je me suis appuyé sur WolframAlpha .

Ainsi, Notez que la borne inférieure ne dépend pas des taux et , et que la corrélation n'atteint jamais , même lorsque les deux marges sont égales (c'est-à-dire lorsque ).

$$\begin{align} \rho_{\min} &= {\rm corr}(X_1, X_2)\\ &= \frac{ \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} (2 - \pi^2/6 ) - \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1}}{ \sqrt{\lambda_1^{-2} \lambda_2^{-2}} } \\ &= 1 - \pi^2/6 \approx −0.645. \end{align}$$ $\lambda_1$$\lambda_2$$-1$$\lambda_1 = \lambda_2$

Limite supérieure
Pour déterminer la limite supérieure nous suivons une approche similaire avec une paire de variables exponentielles comonotoniques. Maintenant, laissez et où et , qui sont tous deux des fonctions croissantes. Ces variables aléatoires sont donc comonotoniques et distribuées de façon exponentielle avec les taux et .$\rho_{\max}$$X_1 = g_1(U)$$X_2 = g_2(U)$$g_1(x)=-\lambda_1^{-1}\log (1-x)$$g_2(x)=-\lambda_2^{-1}\log (1-x)$$\lambda_1$$\lambda_2$

Nous avons et ainsi, De même que la limite inférieure, la limite supérieure ne dépend pas des taux et .

$$\begin{align} {\rm E}(X_1 X_2) &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} {\rm E}\{\log (1-U) \log (1-U)\}\\ &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \int_0^1 \left\{\log (1-u) \right\}^2 {\rm d}u \\ &= 2 \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} , \end{align}$$ $$\begin{align} \rho_{\max} &= {\rm corr}(X_1, X_2)\\ &= \frac{ 2\lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} - \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1}}{ \sqrt{\lambda_1^{-2} \lambda_2^{-2}} } \\ &= 1 . \end{align}$$ $\lambda_1$$\lambda_2$