Compléter une statistique suffisante

J'ai récemment commencé à étudier l'inférence statistique. J'ai travaillé sur divers problèmes et celui-ci m'a complètement déconcerté.

Laisser $X_1,\dots,X_n$ être un échantillon aléatoire d'une distribution discrète qui attribue avec probabilité $\frac{1}{3}$ les valeurs $\theta-1,\space\theta,\space\text{or}\space\theta+1$ , où $\theta$ est un entier. Montrer qu'il n'existe pas de statistique complète suffisante.

Des idées?

— Tony
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Qu'avez-vous jusqu'ici?

— gung - Rétablir Monica

Je peux écrire la probabilité comme:

(\frac{1}{3})^{n}

$(\frac{1}{3})^n$ fois le produit des fonctions de l'indicateur que chaque observation est égale à

θ - 1, θ, or θ + 1

$\theta-1,\space\theta,\space\text{or}\space\theta+1$ . De là, il semble que la statistique suffisante soit les statistiques de commande. J'y pense depuis des jours, c'est comme rien de ce que j'ai vu auparavant.

— Tony

Que savez-vous de l'exhaustivité?

— Glen_b -Reinstate Monica

Une statistique,

T

$T$ , est complet s'il satisfait à la condition que, pour une fonction

g (T)

$g(T)$ , si

E [g (T)] = 0

$E[g(T)]=0$ , puis

g (T) = 0

$g(T)=0$

a . e .

$a.e.$

— Tony

Vous devez donc trouver un contre-exemple ... quelle statistique clairement auxiliaire pouvez-vous trouver dans l'échantillon minimum et maximum?

— Scortchi - Réintégrer Monica

(1) Montrer que pour une taille d'échantillon $n$ , $T=\left(X_{(1)}, X_{(n)}\right)$ , où $X_{(1)}$ est l'échantillon minimum & $X_{(n)}$ l'échantillon maximum, est minimal suffisant.

(2) Trouver la distribution d'échantillonnage de la plage $R=X_{(n)}-X_{(1)}$ & d'où son attente $\newcommand{\E}{\operatorname{E}}\E R$ . Ce sera une fonction de seulement, pas de (ce qui est important, et que vous pouvez peut-être montrer sans le spécifier exactement). $n$ $\theta$

(3) Soit alors simplement . Ce n'est pas une fonction de , & son attente est nulle; mais ce n'est certainement pas égal à zéro: donc n'est pas complet. Comme est un minimum suffisant, il résulte du théorème de Bahadur qu'aucune statistique suffisante n'est complète. $g(T)=R-\E R$ $\theta$ $T$ $T$

— Scortchi - Réintégrer Monica
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Pourriez-vous donner une référence pour le théorème de Bahadur où il déclare que si une statistique suffisante minimale n'est pas complète, alors une statistique suffisante complète n'existe pas? Je cherchais ce résultat, mais je ne l'ai trouvé nulle part.

— StubbornAtom

@StubbornAtom: le théorème de Bahadur déclare que si une statistique est complète, elle est minimale suffisante (à condition qu'une statistique minimale suffisante existe). Donc, une fois que vous montrez qu'une statistique minimale suffisante existe et qu'elle est incomplète, vous n'avez pas à vous soucier de la possibilité de statistiques suffisantes non minimes complètes. (Ou bien sûr sur la possibilité d'autres statistiques complètes minimales suffisantes - ce sont toutes des fonctions un à un les unes des autres.)

— Scortchi - Réintégrer Monica

En y réfléchissant, il aurait été plus simple de dire que , étant suffisamment minimal, est une fonction de toute statistique suffisante , et donc va également pour montrer l'incomplétude de

T

$T$

f (\cdot)

$f(\cdot)$

S

$S$

g (T) = g (f (S))

$g(T)=g(f(S))$

S

$S$ .

— Scortchi - Réintégrer Monica