Quelle est la signification de l'exposant dans

Dans le contexte de l'inférence basée sur la vraisemblance, j'ai vu une notation concernant le ou les paramètres d'intérêt que j'ai trouvé un peu déroutante.

Par exemple, une notation telle que $p_{\theta}(x)$ et ${\mathbb E}_{\theta}\left[S(\theta)\right]$ .

Quelle est la signification du paramètre ( $\theta$ ) en notation indice ci-dessus? En d'autres termes, comment le lire?

Ma première hypothèse était que cela signifiait simplement "avec paramètre $\theta$ "; par exemple, pour $p_{\theta}(x)$ , il se lirait:

"La densité de probabilité de $x$ avec paramètre $\theta$ . "

Cependant, ce n'est probablement pas correct car $p_{\theta}(x) = L(\theta)$ et en général, $L(\theta)$ n'est pas une distribution (c'est-à-dire qu'elle ne s'intègre pas à l'unité); il ne peut donc pas s'agir d'une densité, n'est-ce pas?

En outre, dans le cas de ${\mathbb E}_{\theta}\left[S(\theta)\right]$ , Je ne sais pas ce que cela change par rapport à ${\mathbb E}\left[(S(\theta)\right]$ (c'est-à-dire avec l'indice $\theta$ omis).

Au dessus $S(\theta)$ et $L(\theta)$ signifient respectivement la fonction de score et la fonction de vraisemblance.

— Hugo
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p_{θ}

$p_\theta$ est une probabilité (ou densité) pour chaque

θ

$\theta$ , cela ne signifie pas que la probabilité est une fonction de densité en fonction de

θ

$\theta$ .

— Stéphane Laurent

Merci pour votre réponse!

Donc

p_{θ} (x) is equivalent to p (x; θ)

$p_{\theta}(x) \text{ is equivalent to } p(x;\theta)$ ?

De cela, puis-je supposer que:

p_{θ} (x) = L (θ) but \int p_{θ} (x) d x = 1 \neq \int L (θ) d θ

$p_{\theta}(x) = L(\theta) \text{ but } \int p_{\theta}(x) dx = 1 \neq \int L(\theta) d\theta$

Et aussi que

E_{θ} (f (x))

${\mathbb E}_{\theta}(f(x))$ se réfère à l'attente de

x

$x$ pour chaque

θ

$\theta$ tel que:

E_{θ} (f (x)) = \int f (x) p_{θ} (x) d x

${\mathbb E}_{\theta}(f(x)) = \int f(x)p_{\theta}(x)dx$

— Hugo

Habituellement, la notation

E_{X} ()

$\text{E}_X()$ représente une attente par rapport à la variable aléatoire

X

$X$ ; si vous êtes dans une situation où il est logique de considérer

θ

$\theta$ comme une variable aléatoire (comme un contexte bayésien), ce serait l'intention. Si vous n'êtes pas dans une situation où

θ

$\theta$ pourrait être considéré comme une variable aléatoire, le commentaire de @ Hugo serait le sens que je regarderais ensuite.

— Glen_b -Reinstate Monica

@Hugo Oui, vous comprenez. Rigoureusement, nous devons toujours indiquer l'attente

E_{P}

$\mathbb{E}_{P}$ où

P

$P$ est la probabilité sous-jacente, mais cela est inutile lorsqu'il n'y en a qu'un

P

$P$ . Ici

E_{θ}

$\mathbb{E}_\theta$ est un raccourci pour

E_{p_{θ}}

$\mathbb{E}_{p_{\theta}}$ . La notation

E_{X}

$\mathbb{E}_X$ mentionné par Geln_b est approprié pour d'autres contextes mais généralement je n'aime pas cette notation.

— Stéphane Laurent

Ceci est principalement répondu dans des commentaires que je résumerai ici.

$p_\theta(x)$ signifie la même chose que $p(x; \theta)$ , c'est un raccourci. Il s'agit d'une densité par rapport à $x$ , pas en ce qui concerne $\theta$ . Donc, par nécessité $\int p(x;\theta)\; dx = 1$ il ne s'ensuit pas que $\int p(x;\theta)\; d\theta=1$ , cela peut être n'importe quoi, y compris $\infty$ .

Donc, ${\mathbb E}_{\theta}\left[S(\theta)\right]$ est l'attente de $S(\theta)$ en ce qui concerne la distribution $p_\theta(x)$ . L'indice $\theta$ est là pour plus de clarté, pas parce que c'est nécessaire, donc ${\mathbb E}\left[(S(\theta)\right]$ a la même signification. La distribution par rapport à laquelle nous calculons l'attente doit être claire à partir du contexte ou indiquée d'une manière ou d'une autre (comme par un indice).

— kjetil b halvorsen
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