L’analyse en composantes principales peut-elle être appliquée à des ensembles de données contenant un mélange de variables continues et catégorielles?

J'ai un jeu de données qui contient à la fois des données continues et catégoriques. J'analyse en utilisant PCA et je me demande s'il est acceptable d'inclure les variables catégoriques dans le cadre de l'analyse. D'après ce que j'ai compris, l'ACP ne peut être appliquée qu'à des variables continues. Est-ce exact? S'il ne peut pas être utilisé pour des données catégoriques, quelles alternatives existent pour leur analyse?

Bien qu’une ACP appliquée à des données binaires donnerait des résultats comparables à ceux obtenus par une analyse à correspondances multiples (les facteurs et les valeurs propres sont linéairement liés), il existe des techniques plus appropriées pour traiter des types de données mélangés, à savoir l’analyse à facteurs multiples pour des données mélangées disponibles dans le package FactoMineR R ( AFDM()). Si vos variables peuvent être considérées comme des sous-ensembles structurés d'attributs descriptifs, l' analyse à plusieurs facteurs ( MFA()) est également une option.

Le défi des variables catégorielles consiste à trouver un moyen approprié de représenter les distances entre les catégories de variables et les individus dans l’espace factoriel. Pour résoudre ce problème, vous pouvez rechercher une transformation non linéaire de chaque variable, qu'elle soit nominale, ordinale, polynomiale ou numérique, avec une mise à l'échelle optimale. Ceci est bien expliqué dans Méthodes Gifi pour une mise à l'échelle optimale dans R: Les homales de package , et une implémentation est disponible dans les homales de package R correspondantes .

Une recherche Google "pca pour les variables discrètes" donne cette belle vue d' ensemble de S. Kolenikov (@StasK) et G. Angeles. Pour ajouter à la réponse chl, l’analyse par ordinateur est en réalité une analyse des vecteurs propres de la matrice de covariance. Le problème est donc de savoir comment calculer la matrice "correcte" de covariance. L'une des approches consiste à utiliser la corrélation polychorique .

Je suggérerais de jeter un coup d'oeil à Linting & Kooij, 2012 " Analyse non linéaire en composantes principales avec CATPCA: un tutoriel ", Journal of Personality Assessment ; 94 (1).

Abstrait

Cet article est conçu comme un didacticiel pour l’analyse non linéaire de composants principaux (NLPCA), guidant systématiquement le lecteur tout au long du processus d’analyse des données réelles relatives à l’évaluation de la personnalité par le test de Rorschach Inkblot. NLPCA est une alternative plus souple à l'ACP linéaire qui peut gérer l'analyse de variables éventuellement non liées de manière linéaire avec différents types de niveaux de mesure. La méthode est particulièrement adaptée à l'analyse de données nominales (qualitatives) et ordinales (par exemple de type Likert), éventuellement combinées à des données numériques. Le programme CATPCA du module Catégories de SPSS est utilisé dans les analyses, mais la description de la méthode peut facilement être généralisée à d’autres progiciels.

Je n'ai pas encore obtenu le privilège de commenter le message de quelqu'un, j'ajoute donc mon commentaire comme réponse distincte, alors veuillez vous en tenir à moi.

Pour poursuivre ce que @Martin F a commenté, je suis récemment tombé sur les PCA non linéaires. Je cherchais des ACP non linéaires comme alternative possible lorsqu'une variable continue approche de la distribution d'une variable ordinale à mesure que les données se raréfient (il arrive souvent en génétique que la fréquence allélique mineure de la variable devienne de plus en plus basse et que avec un très petit nombre de comptages dans lesquels vous ne pouvez pas vraiment justifier une distribution d'une variable continue et vous devez assouplir les hypothèses de distribution en le transformant en une variable ordinale ou en une variable catégorielle.) La PCA non linéaire peut traiter ces deux conditions mais après discuter avec des maestros statistiques de la faculté de génétique, L'appel de consensus était que les PCA non linéaires ne sont pas beaucoup utilisés et que le comportement de ces PCA n'est pas encore testé de manière approfondie (peut-être qu'ils se référaient uniquement au domaine de la génétique, alors prenez-le avec un grain de sel). En effet c'est une option fascinante. J'espère avoir ajouté 2cents (heureusement pertinents) à la discussion.

Il existe une approche récemment développée à ces problèmes: les modèles généralisés de bas rang .

L'un des articles utilisant cette technique s'appelle même PCA sur un cadre de données .

La PCA peut être posée comme ceci:

$n$$m$$M$

$n$$k$$\hat{X}$$k$$m$$\hat{Y}$$k$

$\hat{X}, \hat{Y}$$\underset{X, Y}{argmin} \| M - XY \|_F^2$

$\| \cdot \|_F^2$

PCAmixdata#Rstats package :

Implémente l'analyse en composantes principales, la rotation orthogonale et l'analyse factorielle multiple pour un mélange de variables quantitatives et qualitatives.

L'exemple de la vignette montre les résultats pour la sortie continue et catégorique