Signification de corrélation partielle

De Wikipédia

Formellement, la corrélation partielle entre et étant donné un ensemble de variables de contrôle , écrite ρ_ {XY · Z} , est la corrélation entre les résidus RX et RY résultant de la régression linéaire de X avec Z et de Y avec Z , respectivement.$X$$Y$$n$$Z = \{Z_1, Z_2, …, Z_n\}$$ρ_{XY·Z}$$RX$$RY$$X$$Z$$Y$$Z$

1. Il est dit plus tôt que

   une corrélation partielle mesure le degré d'association entre deux variables aléatoires, en supprimant l'effet d'un ensemble de variables aléatoires contrôlantes.

   Je me demandais comment la corrélation partielle $ρ_{XY·Z}$ est liée à la corrélation entre $X$ et $Y$ conditionnelle à $Z$ ?

2. Il existe un cas particulier pour $n=1$ .

   En effet, la corrélation partielle de premier ordre (c'est-à-dire lorsque $n=1$ ) n'est rien d'autre qu'une différence entre une corrélation et le produit des corrélations amovibles divisé par le produit des coefficients d'aliénation des corrélations amovibles. Le coefficient d'aliénation et sa relation avec la variance conjointe par corrélation sont disponibles dans Guilford (1973, pp. 344–345).

   Je me demandais comment écrire mathématiquement ce qui précède?

Notez que la corrélation conditionnelle à est une variable qui dépend de , tandis que la corrélation partielle est un nombre unique.$Z$$Z$

De plus, une corrélation partielle est définie sur la base des résidus de régression linéaire. Ainsi, si la relation réelle est non linéaire, la corrélation partielle peut obtenir une valeur différente de la corrélation conditionnelle, même si le conditionnel de corrélation sur est une constante indépendante de . En revanche, si sont gaussiennes multivariées, la corrélation partielle est égale à la corrélation conditionnelle.$Z$$Z$$X,Y,X$

Pour un exemple où corrélation conditionnelle constante corrélation partielle : Quelle que soit la valeur que prend, la corrélation conditionnelle sera -1. Cependant, les régressions linéaires , seront des constantes 0, et donc les résidus seront les valeurs , elles-mêmes. Ainsi, la corrélation partielle est égale à la corrélation entre , ; ce qui n'est pas égal à -1, car il est clair que les variables ne sont pas parfaitement corrélées si n'est pas connu.$\neq$

$$Z\sim U(-1,1),~X=Z^2+e,~Y=Z^2-e,~e\sim N(0,1),e\perp Z.$$ $Z$$X|Z$$Y|Z$$X$$Y$$X$$Y$$Z$

Apparemment, Baba et Sibuya (2005) montrent l'équivalence de la corrélation partielle et de la corrélation conditionnelle pour certaines autres distributions en plus de la gaussienne multivariée, mais je n'ai pas lu cela.

La réponse à votre question 2 semble exister dans l'article de Wikipedia, la deuxième équation sous Utilisation d'une formule récursive .