Quelle est l'hypothèse NULL pour l'interaction dans une ANOVA bidirectionnelle?

Disons que nous avons deux facteurs (A et B), chacun avec deux niveaux (A1, A2 et B1, B2) et une variable de réponse (y).

Lorsque vous effectuez une ANOVA bidirectionnelle du type:

y~A+B+A*B

Nous testons trois hypothèses nulles:

1. Il n'y a pas de différence dans les moyennes du facteur A
2. Il n'y a pas de différence dans les moyennes du facteur B
3. Il n'y a pas d'interaction entre les facteurs A et B

Lorsqu'elles sont écrites, les deux premières hypothèses sont faciles à formuler (pour 1 c'est )$H_0:\; \mu_{A1}=\mu_{A2}$

Mais comment formuler l'hypothèse 3?

edit : et comment serait-il formulé pour le cas de plus de deux niveaux?

Merci.

Je pense qu'il est important de séparer clairement l'hypothèse et son test correspondant. Pour ce qui suit, je suppose un plan CRF- équilibré entre les sujets (tailles de cellules égales, notation de Kirk: plan factoriel complètement aléatoire).$pq$

est l'observation i dans le traitement j du facteur A et le traitement k du facteur B avec 1 ≤ i ≤ n , 1 ≤ j ≤ $Y_{ijk}$$i$$j$$A$$k$$B$$1 \leq i \leq n$$1 \leq j \leq p$ et . Le modèle est Y i j k = μ j k + ϵ i ( j k )$1 \leq k \leq q$$Y_{ijk} = \mu_{jk} + \epsilon_{i(jk)}, \quad \epsilon_{i(jk)} \sim N(0, \sigma_{\epsilon}^2)$

Conception: B 1 ... B k ... B q A 1 μ 11 ... μ 1 k ... μ 1 q μ 1. ... ... ... ... ... ... ... A j μ j 1 ... μ j k ... μ j q μ j . ... ... ... ... ... ... ... A p μ p 1 ... μ$\begin{array}{r|ccccc|l} ~ & B 1 & \ldots & B k & \ldots & B q & ~\\\hline A 1 & \mu_{11} & \ldots & \mu_{1k} & \ldots & \mu_{1q} & \mu_{1.}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ A j & \mu_{j1} & \ldots & \mu_{jk} & \ldots & \mu_{jq} & \mu_{j.}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ A p & \mu_{p1} & \ldots & \mu_{pk} & \ldots & \mu_{pq} & \mu_{p.}\\\hline ~ & \mu_{.1} & \ldots & \mu_{.k} & \ldots & \mu_{.q} & \mu \end{array}$

est la valeur attendue dans la cellule j k , ϵ i ( j k ) est l'erreur associée à la mesure de la personne i dans cette cellule. Lanotation ( ) indique que les indices j k sont fixes pour toute personne i donnéecar cette personne est observée dans une seule condition. Quelques définitions des effets:$\mu_{jk}$$jk$$\epsilon_{i(jk)}$$i$$()$$jk$$i$

(valeur moyenne attendue pour le traitementjdu facteurA)$\mu_{j.} = \frac{1}{q} \sum_{k=1}^{q} \mu_{jk}$$j$$A$

(valeur moyenne attendue pour le traitementkdu facteurB)$\mu_{.k} = \frac{1}{p} \sum_{j=1}^{p} \mu_{jk}$$k$$B$

(effet du traitement j du facteur A , ∑ p j = 1 α j = 0 )$\alpha_{j} = \mu_{j.} - \mu$$j$$A$$\sum_{j=1}^{p} \alpha_{j} = 0$

(effet du traitement k du facteur B , ∑ q k = 1 β k = 0 )$\beta_{k} = \mu_{.k} - \mu$$k$$B$$\sum_{k=1}^{q} \beta_{k} = 0$

(effet d'interaction pour la combinaison du traitement j du facteur A avec le traitement k du facteur B , ∑ p j = 1 ( α β ) j k$(\alpha \beta)_{jk} = \mu_{jk} - (\mu + \alpha_{j} + \beta_{k}) = \mu_{jk} - \mu_{j.} - \mu_{.k} + \mu$
$j$$A$$k$$B$$\sum_{j=1}^{p} (\alpha \beta)_{jk} = 0 \, \wedge \, \sum_{k=1}^{q} (\alpha \beta)_{jk} = 0)$

$\alpha_{j}^{(k)} = \mu_{jk} - \mu_{.k}$
(conditional main effect for treatment $j$ of factor $A$ within fixed treatment $k$ of factor $B$, $\sum_{j=1}^{p} \alpha_{j}^{(k)} = 0 \, \wedge \, \frac{1}{q} \sum_{k=1}^{q} \alpha_{j}^{(k)} = \alpha_{j} \quad \forall \, j, k)$

$\beta_{k}^{(j)} = \mu_{jk} - \mu_{j.}$
(conditional main effect for treatment $k$ of factor $B$ within fixed treatment $j$ of factor $A$, $\sum_{k=1}^{q} \beta_{k}^{(j)} = 0 \, \wedge \, \frac{1}{p} \sum_{j=1}^{p} \beta_{k}^{(j)} = \beta_{k} \quad \forall \, j, k)$

With these definitions, the model can also be written as: $Y_{ijk} = \mu + \alpha_{j} + \beta_{k} + (\alpha \beta)_{jk} + \epsilon_{i(jk)}$

This allows us to express the null hypothesis of no interaction in several equivalent ways:

1. $H_{0_{I}}: \sum_{j}\sum_{k} (\alpha \beta)^{2}_{jk} = 0$
   (all individual interaction terms are $0$, such that $\mu_{jk} = \mu + \alpha_{j} + \beta_{k} \, \forall j, k$. This means that treatment effects of both factors - as defined above - are additive everywhere.)

2. $H_{0_{I}}: \alpha_{j}^{(k)} - \alpha_{j}^{(k')} = 0 \quad \forall \, j \, \wedge \, \forall \, k, k' \quad (k \neq k')$
   (all conditional main effects for any treatment $j$ of factor $A$ are the same, and therefore equal $\alpha_{j}$. This is essentially Dason's answer.)

3. $H_{0_{I}}: \beta_{k}^{(j)} - \beta_{k}^{(j')} = 0 \quad \forall \, j, j' \, \wedge \, \forall \, k \quad (j \neq j')$
   (all conditional main effects for any treatment $k$ of factor $B$ are the same, and therefore equal $\beta_{k}$.)

4. $H_{0_{I}}$: In a diagramm which shows the expected values $\mu_{jk}$ with the levels of factor $A$ on the $x$-axis and the levels of factor $B$ drawn as separate lines, the $q$ different lines are parallel.

An interaction tells us that the levels of factor A have different effects based on what level of factor B you're applying. So we can test this through a linear contrast. Let C = (A1B1 - A1B2) - (A2B1 - A2B2) where A1B1 stands for the mean of the group that received A1 and B1 and so on. So here we're looking at A1B1 - A1B2 which is the effect that factor B is having when we're applying A1. If there is no interaction this should be the same as the effect B is having when we apply A2: A2B1 - A2B2. If those are the same then their difference should be 0 so we could use the tests:

$H_0: C = 0\quad\text{vs.}\quad H_A: C \neq 0.$