Variance du produit de plusieurs variables aléatoires

Nous savons que la réponse pour deux variables indépendantes:

V a r (X Y) = E (X^{2} Y^{2}) - (E (X Y))^{2} = V a r (X) V a r (Y) + V a r (X) (E (Y))^{2} + V a r (Y) (E (X))^{2}

${\rm Var}(XY) = E(X^2Y^2) − (E(XY))^2={\rm Var}(X){\rm Var}(Y)+{\rm Var}(X)(E(Y))^2+{\rm Var}(Y)(E(X))^2$

Cependant, si nous prenons le produit de plus de deux variables, , quelle serait la réponse en termes de variance et de valeur attendue de chaque variable? ${\rm Var}(X_1X_2 \cdots X_n)$

variance random-variable independence

— Damla
source

Puisque

est une variable aléatoire et (en supposant que tous les

soient indépendants), elle est indépendante de

, la réponse est obtenue par induction: rien de nouveau n’est nécessaire. Si cela vous semble trop mystérieux, la technique n’est pas différente de la remarque suivante: puisque vous pouvez ajouter deux nombres à l’aide d’une calculatrice, vous pouvez ajouter

chiffres avec la même calculatrice par addition répétée.

X_{1} X_{2} \dots X_{n - 1}

$X_1X_2\cdots X_{n-1}$

X_{i}

$X_i$

X_{n}

$X_n$

n

$n$

— whuber

Pourriez-vous écrire une preuve de votre équation affichée? Je suis curieux de savoir ce qui est arrivé au terme

qui devrait vous donner quelques termes impliquant

(E [X Y])^{2}

$(E[XY])^2$

cov (X, Y)

$\operatorname{cov}(X,Y)$

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate, je soupçonne que cette question suppose tacitement que

sont indépendants. La formule de l'OP est correcte lorsque

sont pas corrélés et que

sont pas corrélés. Voir ma réponse à une question connexe ici .

X

$X$

Y

$Y$

X, Y

$X,Y$

X^{2}, Y^{2}

$X^2, Y^2$

— Macro

@ Macro Je suis bien conscient des points que vous soulevez. Ce que je cherchais à obtenir l'OP à comprendre et / ou de la figure pour lui - même / elle - même était que pour indépendants des variables aléatoires, comme

Simplifie à

E [X^{2} Y^{2}]

$E[X^2Y^2]$

se simplifie en

E [X^{2} Y^{2}] = E [X^{2}] E [Y^{2}] = (σ_{X}^{2} + μ_{X}^{2}) (σ_{Y}^{2} + μ_{Y}^{2}),

$E[X^2Y^2]=E[X^2]E[Y^2]=(\sigma_X^2+\mu_X^2)(\sigma_Y^2+\mu_Y^2),$

E [(X_{1} \dots X_{n})^{2}]

$E[(X_1\cdots X_n)^2]$

E [(X_{1} \dots X_{n})^{2}] = E [X_{1}^{2}] \dots E [X_{n}^{2}] = \prod_{i = 1}^{n} (σ_{X_{i}}^{2} + μ_{X_{i}}^{2})

$E[(X_1\cdots X_n)^2]=E[X_1^2]\cdots E[X_n^2]=\prod_{i=1}^n(\sigma_{X_i}^2+\mu_{X_i}^2)$ ce qui, à mon avis, est un moyen plus direct d’atteindre le résultat final que la méthode inductive que whuber a souligné.

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate, gentil. Je vous suggère de poster cela comme une réponse afin que je puisse le revigorer!

— Macro

$X_1, X_2, \cdots , X_n$

\begin{aligned} var (X_{1} \dots X_{n}) & = E [(X_{1} \dots X_{n})^{2}] - {(E [X_{1} \dots X_{n}])}^{2} \\ = E [X_{1}^{2} \dots X_{n}^{2}] - {(E [(X_{1}] \dots E [X_{n}])}^{2} \\ = E [X_{1}^{2}] \dots E [X_{n}^{2}] - (E [X_{1}])^{2} \dots (E [X_{n}])^{2} \\ = \prod_{i = 1}^{n} (var (X_{i}) + (E [X_{i}])^{2}) - \prod_{i = 1}^{n} {(E [X_{i}])}^{2} \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{var}(X_1\cdots X_n) &= E[(X_1\cdots X_n)^2]-\left(E[X_1\cdots X_n]\right)^2\\ &= E[X_1^2\cdots X_n^2]-\left(E[(X_1]\cdots E[X_n]\right)^2\\ &= E[X_1^2]\cdots E[X_n^2] - (E[X_1])^2\cdots (E[X_n])^2\\ &= \prod_{i=1}^n \left(\operatorname{var}(X_i)+(E[X_i])^2\right) - \prod_{i=1}^n \left(E[X_i]\right)^2 \end{align}$

n = 2

$n=2$

n = 2

$n=2$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

X_{1}^{2}

$X_1^2$

X_{2}^{2}

$X_2^2$

n \geq 3

$n \geq 3$

— Dilip Sarwate
source

Merci beaucoup! J'apprécie vraiment cela. Oui, la question portait sur les variables aléatoires indépendantes.

— Damla

X_{1} = X_{2} = \dots = X_{n} = X

$X_1=X_2=\cdots=X_n=X$

J'ai posté la question dans une nouvelle page. Merci beaucoup! stats.stackexchange.com/questions/53380/…

— damla

n

$n$

3

$3$