Espérance conditionnelle d'une variable aléatoire exponentielle

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Pour une variable aléatoire $X\sim \text{Exp}(\lambda)$ ( $\mathbb{E}[X] = \frac{1}{\lambda}$ ) Je sens intuitivement que $\mathbb{E}[X|X > x]$ devrait être égal à $x + \mathbb{E}[X]$ puisque par la propriété sans mémoire la distribution de $X|X > x$ est le même que celui de $X$ mais décalé vers la droite de $x$ .

Cependant, j'ai du mal à utiliser la propriété sans mémoire pour donner une preuve concrète. Toute aide est très appréciée.

Merci.

random-variable exponential conditional-expectation

— mchen
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Indice:

f_{X | X > a} (x) = f_{X} (x - a)

$f_{X|X > a}(x) = f_X(x-a)$ est l'expression mathématique correspondant à "décalé vers la droite de

a

$a$ ", et donc

E [X ∣ X > a] = \int_{- \infty}^{\infty} x f_{X ∣ X > a} (x) d x = \int_{- \infty}^{\infty} x f_{X} (x - a) d x .

$E[X\mid X>a] = \int_{-\infty}^\infty xf_{X\mid X>a}(x)\,\mathrm dx= \int_{-\infty}^\infty xf_X(x-a)\,\mathrm dx.$ Faites maintenant un changement de variables sur l'intégrale de droite.

— Dilip Sarwate

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Notez que

X | X > x

$X|X>x$ est une distribution tronquée tronquée en dessous de "

x

$x$ ". En particulier, il s'agit d'une distribution exponentielle décalée et l'exponentielle décalée n'a pas de propriété sans mémoire .

— AD

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$\ldots$ Par la propriété sans mémoire la distribution de $X|X > x$ est le même que celui de $X$ mais décalé vers la droite de $x$ .

Soit $f_X(t)$ représentent la fonction de densité de probabilité (pdf) de $X$ . Ensuite, la formulation mathématique de ce que vous énoncez correctement $-$ savoir, le pdf conditionnel de $X$ étant donné que $\{X > x\}$ est la même que celle de $X$ mais décalée vers la droite de $x$ $-$ est que $f_{X \mid X > x}(t) = f_X(t-x)$ . Par conséquent, $E[X\mid X > x]$ , lavaleur attenduede $X$ étant donné que $\{X > x\}$ est

\begin{aligned} E [X ∣ X > x] & = \int_{- \infty}^{\infty} t f_{X ∣ X > x} (t) d t \\ = \int_{- \infty}^{\infty} t f_{X} (t - x) d t \\ = \int_{- \infty}^{\infty} (x + u) f_{X} (u) d u & on substituting u = t - x \\ = x + E [X] . \end{aligned}

$\begin{align} E[X\mid X > x] &= \int_{-\infty}^\infty t f_{X \mid X > x}(t)\,\mathrm dt\\ &= \int_{-\infty}^\infty t f_X(t-x)\,\mathrm dt\\ &= \int_{-\infty}^\infty (x+u) f_X(u)\,\mathrm du &\scriptstyle{\text{on substituting}~u = t-x}\\ &= x + E[X]. \end{align}$ Notez que nous n'avons pas explicitement utilisé la densité de

X

$X$ dans le calcul, et n'avons même pas besoin de l'intégrerexplicitementsi nous nous souvenons simplement que (i) l'aire sous un pdf est

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$1$ et (ii) la définition de la valeur attendue d'un variable aléatoire continue en termes de son pdf.

— Dilip Sarwate
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$x>0$ $\{X>x\}$ $P\{X>x\}=1-F_X(x)=e^{-\lambda x} > 0$

E [X ∣ X > x] = \frac{E [X I_{{X > x}}]}{P {X > x}},

$\newcommand{\E}{\mathbb{E}} \E[X\mid X> x] = \frac{\E[X\,I_{\{X>x\}}]}{P\{X>x\}} \, ,$

E [X I_{{X > x}}] = \int_{x}^{\infty} t λ e^{- λ t} d t = (*)

$\E[X\,I_{\{X>x\}}] = \int_x^\infty t\,\lambda\,e^{-\lambda t}\,dt = (*)$

(*) = - λ \int_{x}^{\infty} \frac{d}{d λ} (e^{- λ t}) d t = - λ \frac{d}{d λ} \int_{x}^{\infty} e^{- λ t} d t

$(*) = -\lambda \int_x^\infty \frac{d}{d\lambda}(e^{-\lambda t}) \,dt = -\lambda \frac{d}{d\lambda} \int_x^\infty e^{-\lambda t} \,dt$

= - λ \frac{d}{d λ} (\frac{1}{λ} \int_{x}^{\infty} λ e^{- λ t} d t) = - λ \frac{d}{d λ} (\frac{1}{λ} (1 - F_{X} (x)))

$= -\lambda \frac{d}{d\lambda} \left(\frac{1}{\lambda} \int_x^\infty \lambda\,e^{-\lambda t} \,dt\right) = -\lambda\frac{d}{d\lambda}\left(\frac{1}{\lambda}\left(1 - F_X(x)\right)\right)$

= - λ \frac{d}{d λ} (\frac{e^{- λ x}}{λ}) = (\frac{1}{λ} + x) e^{- λ x},

$= -\lambda\frac{d}{d\lambda}\left(\frac{e^{-\lambda x}}{\lambda}\right) = \left(\frac{1}{\lambda}+x\right)e^{-\lambda x} \, ,$

E [X ∣ X > x] = \frac{1}{λ} + x = E [X] + x .

$\E[X\mid X>x] = \frac{1}{\lambda}+x = \E[X] + x \, .$

— Zen
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\int_{x}^{\infty} t λ e^{- λ t} d t = - t e^{- λ t} |_{x}^{\infty} + \int_{x}^{\infty} e^{- λ t} d t = (x + \frac{1}{λ}) e^{- λ x} ?

$\int_x^\infty t\lambda e^{-\lambda t}\,dt = -t e^{-\lambda t}\biggr |_x^\infty + \int_x^\infty e^{-\lambda t}\,dt = \left(x + \frac{1}{\lambda}\right)e^{-\lambda x}?$