Différence de variables aléatoires gamma

Étant donné deux variables aléatoires indépendantes et , quelle est la distribution de la différence, c'est-à-dire ? $X\sim \mathrm{Gamma}(\alpha_X,\beta_X)$ $Y\sim \mathrm{Gamma}(\alpha_Y,\beta_Y)$ $D=X-Y$

Si le résultat n'est pas bien connu, comment pourrais-je obtenir le résultat?

distributions gamma-distribution

— FBC
source

Je pense que cela peut être pertinent: stats.stackexchange.com/q/2035/7071

— Dimitriy V. Masterov

Malheureusement non pertinent, ce post considère la somme pondérée des variables aléatoires Gamma où les poids sont strictement positifs. Dans mon cas, les poids seraient respectivement +1 et -1.

— FBC

L'article de Moschopoulos affirme que la méthode peut être étendue à des combinaisons linéaires, mais vous avez raison de dire que le rééchelonnement semble être limité à des poids supérieurs à 0. Je me tiens corrigé.

— Dimitriy V. Masterov

Il y a peu d'espoir de dériver quelque chose de simple ou de fermé si les deux facteurs d'échelle ne sont pas identiques.

— whuber

Juste une petite remarque: pour le cas particulier des RVs exponentiellement distribués avec le même paramètre, le résultat est Laplace ( en.wikipedia.org/wiki/Laplace_distribution ).

— Ric

Je vais décrire comment le problème peut être abordé et indiquer ce que je pense que le résultat final sera pour le cas spécial lorsque les paramètres de forme sont des entiers, mais ne pas remplir les détails.

Tout d'abord, notez que prend des valeurs dans et donc prend en charge . $X-Y$ $(-\infty,\infty)$ $f_{X-Y}(z)$ $(-\infty,\infty)$
Deuxièmement, à partir des résultats standard, la densité de la somme de deux variables aléatoires continues indépendantes est la convolution de leurs densités, c'est-à-dire et que la densité de la variable aléatoire est , déduisez que
$F_{X + Oui} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} F_{X} (X) F_{Oui} (z - X) ré X$ $f_{X+Y}(z) = \int_{-\infty}^\infty f_X(x)f_Y(z-x)\,\mathrm dx$ $-Y$ $f_{-Y}(\alpha) = f_Y(-\alpha)$ $F_{X - Oui} (z) = F_{X + (- Oui)} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} F_{X} (X) F_{- Oui} (z - X) ré X = \int_{- \infty}^{\infty} F_{X} (X) F_{Oui} (X - z) ré X .$ $f_{X-Y}(z) = f_{X+(-Y)}(z) = \int_{-\infty}^\infty f_X(x)f_{-Y}(z-x)\,\mathrm dx = \int_{-\infty}^\infty f_X(x)f_Y(x-z)\,\mathrm dx.$
Troisièmement, pour les variables aléatoires non négatives et , notez que l'expression ci-dessus se simplifie en $X$ $Y$
$F_{X - Oui} (z) = {\begin{cases} \int_{0}^{\infty} F_{X} (X) F_{Oui} (X - z) ré X, & z < 0, \\ \int_{0}^{\infty} F_{X} (y + z) F_{Oui} (y) ré y, & z > 0. \end{cases}$ $f_{X-Y}(z) = \begin{cases} \int_0^\infty f_X(x)f_Y(x-z)\,\mathrm dx, & z < 0,\\ \int_{0}^\infty f_X(y+z)f_Y(y)\,\mathrm dy, & z > 0. \end{cases}$
Enfin, en utilisant la paramétrisation pour signifier une variable aléatoire de densité $\Gamma(s,\lambda)$ , et avec et variables aléatoires, on a pourque $\lambda\frac{(\lambda x)^{s-1}}{\Gamma(s)}\exp(-\lambda x)\mathbf 1_{x>0}(x)$ $X \sim \Gamma(s,\lambda)$ $Y \sim \Gamma(t,\mu)$ $z > 0$ De même, pour,
$\begin{aligned} F_{X - Oui} (z) & = \int_{0}^{\infty} λ \frac{(λ (y + z))^{s - 1}}{Γ (s)} \exp (- λ (y + z)) μ \frac{(μ y)^{t - 1}}{Γ (t)} \exp (- μ y) ré y \\ (1) & = \exp (- λ z) \int_{0}^{\infty} p (y, z) \exp (- (λ + μ) y) ré y . \end{aligned}$ $\begin{align*}f_{X-Y}(z) &= \int_{0}^\infty \lambda\frac{(\lambda (y+z))^{s-1}}{\Gamma(s)}\exp(-\lambda (y+z)) \mu\frac{(\mu y)^{t-1}}{\Gamma(t)}\exp(-\mu y)\,\mathrm dy\\ &= \exp(-\lambda z) \int_0^\infty p(y,z)\exp(-(\lambda+\mu)y)\,\mathrm dy.\tag{1} \end{align*}$ $z < 0$ $\begin{aligned} F_{X - Oui} (z) & = \int_{0}^{\infty} λ \frac{(λ X)^{s - 1}}{Γ (s)} \exp (- λ X) μ \frac{(μ (X - z))^{t - 1}}{Γ (t)} \exp (- μ (X - z)) ré X \\ (2) & = \exp (μ z) \int_{0}^{\infty} q (X, z) \exp (- (λ + μ) X) ré X . \end{aligned}$ $\begin{align*}f_{X-Y}(z) &= \int_{0}^\infty \lambda\frac{(\lambda x)^{s-1}}{\Gamma(s)}\exp(-\lambda x) \mu\frac{(\mu (x-z))^{t-1}}{\Gamma(t)}\exp(-\mu (x-z))\,\mathrm dx\\ &= \exp(\mu z) \int_0^\infty q(x,z)\exp(-(\lambda+\mu)x)\,\mathrm dx.\tag{2} \end{align*}$

$s = t$

\int_{0}^{\infty} x^{s - 1} (x + β)^{s - 1} \exp (- ν x) d x

$\int_0^\infty x^{s-1}(x+\beta)^{s-1}\exp(-\nu x)\,\mathrm dx$

β

$\beta$

f_{X - Y} (z)

$f_{X-Y}(z)$

$s$ $t$ $p(y,z)$ $y$ $z$ $(s+t-2, s-1)$ $q(x,z)$ $x$ $z$ $(s+t-2,t-1)$

$z > 0$ $(1)$ $s$ $y$ $1, z, z^2, \ldots z^{s-1}$ $X-Y$ $\Gamma(1,\lambda), \Gamma(2,\lambda), \cdots, \Gamma(s,\lambda)$ $z > 0$ $t$
$z < 0$ $X-Y$ $\Gamma(1,\mu), \Gamma(2,\mu), \cdots, \Gamma(t,\mu)$ $(\mu|z|)^{k-1}\exp(\mu z)$ $(\mu z)^{k-1}\exp(-\mu z)$ $s$

— Dilip Sarwate
source

+1: Après avoir examiné ce problème auparavant, je trouve cette réponse fascinante.

— Neil G

Je vais accepter cette réponse même s'il ne semble pas y avoir de solution sous forme fermée. C'est aussi proche que possible, merci!

— FBC

f_{- Y} (α) \neq f_{Y} (- α)

$f_{-Y}(\alpha) ≠ f_{Y}(-\alpha)$

f_{- Y} (α) = f_{Y} (- α)

$f_{-Y}(\alpha) = f_{Y}(-\alpha)$

P {Y > 0} = 1

$P\{Y > 0\} = 1$

- Y

$-Y$

0

$0$

1

$1$

Y

$Y$

f_{Y} (α)

$f_Y(\alpha)$

f_{Y} (α)

$f_Y(\alpha)$

α < 0

$\alpha<0$

f_{Y} (α)

$f_Y(\alpha)$

0

$0$

α < 0

$\alpha<0$

f_{- Y} (α) = f_{Y} (α) = 0

$f_{-Y}(\alpha)=f_Y(\alpha)=0$

α

$\alpha$

Y

$Y$

Y

$Y$

-

$-$

-

$-$

f_{Y}

$f_Y$

R^{+}

$\mathbb R^+$

À ma connaissance, la distribution de la différence de deux gamma RV indépendants a été étudiée pour la première fois par Mathai en 1993. Il a dérivé une solution sous forme fermée. Je ne reproduirai pas son travail ici. Au lieu de cela, je vous indiquerai la source d'origine. La solution de forme fermée peut être trouvée à la page 241 comme théorème 2.1 dans son article sur laplacianité généralisée non centrale des formes quadratiques dans les variables normales .

— Nathan Crock
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