Quel est le nom de cette distribution discrète (équation de différence récursive) que j'ai dérivée?

Je suis tombé sur cette distribution dans un jeu vidéo et je voulais en savoir plus sur son comportement. Cela vient de la décision de savoir si un certain événement doit se produire après un certain nombre d'actions de joueurs. Les détails au-delà de cela ne sont pas pertinents. Il semble applicable à d'autres situations, et je l'ai trouvé intéressant car il est facile à calculer et crée une longue queue.

A chaque étape , le jeu génère un nombre aléatoire uniforme . Si , alors l'événement est déclenché. Une fois que l'événement s'est produit, le jeu réinitialise et exécute à nouveau la séquence. Je ne suis intéressé que par une occurrence de l'événement pour ce problème, car cela représente la distribution que le jeu utilise. (En outre, toutes les questions concernant plusieurs occurrences peuvent être répondues avec un seul modèle d'occurrence.) $n$ $0 \leq X < 1$ $X < p(n)$ $n = 0$

La principale "anomalie" ici est que le paramètre de probabilité dans cette distribution augmente avec le temps, ou en d'autres termes, le seuil augmente avec le temps. Dans l'exemple, il change linéairement mais je suppose que d'autres règles pourraient s'appliquer. Après étapes ou actions de l'utilisateur, $n$

p (n) = k n

$p(n) = kn$

pour une constante . À un certain point , nous obtenons . L'événement est simplement garanti de se produire à cette étape. $0 < k < 1$ $n_{\max}$ $p(n_{\max}) \geq 1$

J'ai pu déterminer que

f (n) = p (n) [1 - F (n - 1)]

$f(n) = p(n)\left[1 - F(n - 1)\right]$ et pour PMF et CDF . En bref, la probabilité que l'événement se produise à la ème étape est égale à la probabilité , moins la probabilité qu'il se soit déjà produit à une étape précédente.

F (n) = p (n) + F (n - 1) [1 - p (n)]

$F(n) = p(n) + F(n-1)\left[1 - p(n)\right]$

f (n)

$f(n)$

F (n)

$F(n)$

n

$n$

p (n)

$p(n)$

Voici une intrigue de notre ami Monte Carlo, pour le plaisir, avec . La médiane s'établit à 21 et la moyenne à 22. $k \approx 0.003$ entrez la description de l'image ici

Cela équivaut à peu près à une équation de différence de premier ordre du traitement du signal numérique, qui est mon expérience, et j'ai donc trouvé cela assez nouveau. Je suis également intrigué par l'idée que pourrait varier selon n'importe quelle formule arbitraire. $p(n)$

Mes questions:

Quel est le nom de cette distribution, si elle en a une?
Existe-t-il un moyen de dériver une expression pour sans référence à ? $f(n)$ $F(n)$
Existe-t-il d'autres exemples de distributions récursives discrètes comme celle-ci?

Modifie processus Clarification sur la génération de nombres aléatoires.

— jbarlow
source

Une raison pour laquelle vous avez choisi des crochets au lieu de ()?

— Cam.Davidson.Pilon

@ Cam.Davidson.Pilon: Mon arrière-plan DSP s'est glissé dedans. Nous avons tendance à utiliser des crochets pour les fonctions temporelles discrètes. Je suppose que cela doit être choquant, donc je vais le changer.

— jbarlow

Le processus que vous supposez n'apparaît pas clairement défini ici. Vous dites "A chaque étape , le jeu lance un nombre aléatoire Si , alors l'événement est déclenché." Mais, vous ne donnez aucune spécification sur la façon dont est dessiné. Je pense qu'il serait utile que le processus puisse être décrit un peu plus précisément.

n

$n$

X

$X$

X < p (n)

$X < p(n)$

X

$X$

— cardinal

@jbarlow: Désolé si ma remarque précédente n'était pas claire. Si pour quelque , il n'y a aucun moyen que votre processus puisse avoir plus de étapes, car un nombre aléatoire uniforme entre zéro et un serait certainement plus petit que pour tout . La quantité en fonction de est très étroitement liée à ce que l'on appelle la fonction de risque dans le sous-domaine des statistiques appelé analyse de survie .

p (n) = k n

$p(n) = k n$

0 < k < 1

$0 < k < 1$

⌈ k^{- 1} ⌉

$\lceil k^{-1} \rceil$

p (n)

$p(n)$

n > 1 / k

$n > 1/k$

p (n)

$p(n)$

n

$n$

— Cardinal

Pour les petits , l'utilisation de l'analogue différentiel de cette équation de différence montre que ( pas !) Est proche de la gaussienne. (De cela, nous déduisons immédiatement, par exemple, que la moyenne doit être proche de ). Veuillez également noter qu'il existe des restrictions (fortes) sur , sinon, une fois que dépasse (ce qu'il finit par faire), rien ne garantit que reste inférieur ou égal à .

k

$k$

F

$F$

f

$f$

\sqrt{1 / k} = \sqrt{333} \approx 18

$\sqrt{1/k}=\sqrt{333}\approx 18$

k

$k$

p (n)

$p(n)$

1

$1$

F

$F$

1

$1$

— whuber

Réponses:

Dans un sens, ce que vous avez fait est de caractériser toutes les distributions à valeur entière non négatives.

Mettons de côté la description du processus aléatoire pendant un moment et concentrons-nous sur les récursions de la question.

Si , alors certainement . Si nous réécrivons cette deuxième récursivité en termes de fonction de survie (où a la distribution ), nous obtenons quelque chose de très suggestif et facile à manipuler. Clairement, et donc Ainsi, tant que notre séquence prend des valeurs dans $f_n = p_n (1 - F_{n-1})$ $F_n = p_n + (1-p_n) F_{n-1}$ $S_n = 1 - F_n = \mathbb P(T > n)$ $T$ $F$

S_{n} = 1 - F_{n} = (1 - p_{n}) S_{n - 1},

$S_n = 1 - F_n = (1-p_n) S_{n-1} \>,$

S_{n} = \prod_{k = 0}^{n} (1 - p_{k}) .

$S_n = \prod_{k=0}^n (1-p_k) \> .$

(p_{n})

$(p_n)$

[0, 1]

$[0,1]$ et ne converge pas trop rapidement vers zéro, nous obtiendrons alors une fonction de survie valide (c'est-à-dire décroissant monotone à zéro en tant que ).

n \to \infty

$n \to \infty$

Plus précisement,

Proposition : Une séquence prenant des valeurs dans détermine une distribution sur les entiers non négatifs si et seulement si $(p_n)$ $[0,1]$ Et toutes ces distributions ont une séquence correspondant (même si elle peut ne pas être unique).
$- \sum_{n = 0}^{\infty} Journal (1 - p_{n}) = \infty,$ $-\sum_{n=0}^\infty \log(1-p_n) = \infty \>,$

$(p_n)$ $[0,1]$

$(p_n)$ $[0,1]$ $0 < p_n < 1$ $n \leq N$ $p_n = 0$ $n > N$

Mais attendez, il y a plus!

$F$ $f$

h (t) = \frac{F (t)}{S (t)} .

$h(t) = \frac{f(t)}{S(t)} \>.$

$\Lambda(t) = \int_0^t h(s) \,\mathrm d s$

S (t) = \exp (- Λ (t)) = \exp (- \int_{0}^{t} h (s) ré s) .

$S(t) = \exp(-\Lambda(t)) = \exp\Big(-\int_0^t h(s) \,\mathrm d s\Big)\>.$

h

$h$

h (t) \geq 0

$h(t) \geq 0$

t

$t$

\int_{0}^{t} h (s) d s ↑ \infty

$\int_0^t h(s) \,\mathrm d s \uparrow \infty$

t \to \infty

$t \to \infty$

$t > t_0$

S (t) = e^{- \int_{t_{0}}^{t} h (s) ré s} S (t_{0}) .

$S(t) = e^{-\int_{t_0}^t h(s) \,\mathrm d s} S(t_0) \>.$

$h(t)$ $S(t)$

Se reconnecter au boîtier discret

$S(n)$

h (t) = h_{n} = - Journal (1 - p_{n}),

$h(t) = h_n = -\log(1-p_n)\>,$

(n - 1, n]

$(n-1,n]$

(p_{n})

$(p_n)$

$p_n$ $-\log(1-p_n) \approx p_n = f_n / S_{n-1}$

$p_n = k n$ $f_n$ $n = \lceil k^{-1} \rceil$ $f_n = 0$ $n > \lceil k^{-1} \rceil$

— cardinal
source

k

$k$

k = 1 / 2

$k=1/2$

f = (0, 1 / 2, 1 / 2, 0, \dots)

$f=(0,1/2,1/2,0,\ldots)$

k = 1 / m

$k=1/m$

f (m + 1) = f (m + 2) = \dots = 0

$f(m+1)=f(m+2)=\cdots=0$

f_{n}

$f_n$

F_{n}

$F_n$

f_{n}

$f_n$

Très bonne réponse. C'est très perspicace. J'étais vraiment intéressé de voir ce problème lié à d'autres domaines et concepts.

— jbarlow

@jbarlow: Merci. Je suis content que vous l'ayez trouvé utile! J'ai aimé y réfléchir un peu, car c'est une belle question.

— cardinal

$p(n) = p < 1$

F (n) = p + F (n - 1) (1 - p); F (0) = p

$F(n) = p + F(n-1)(1-p); \; F(0) = p$

a la solution

F (n) = P (N \leq n) = 1 - (1 - p)^{n + 1}

$F(n) = P(N \le n) = 1- (1-p)^{n+1}$

$p(n)$

Autres cas:

$p(n) = \frac{p}{n}; \; p<1; \;F(0) = p$ $F (n) = 1 - \frac{(1 - p) Γ (n + 1 - p)}{Γ (1 - p) Γ (n + 1)}$ $F(n) = 1 - \frac{(1-p)\Gamma( n + 1 -p)}{\Gamma( 1-p)\Gamma(n+1)}$
$S(n) = 1-F(n)$ $S (n) = (1 - p (n)) S (n - 1)$ $S(n) =\left(1 - p(n) \right) S(n-1)$
$p(n)$ $n$ $p(n) = kn$ $p>1$ $p (n) = 1 - \frac{(1 - p)}{n + 1} p < 1$ $p(n) = 1 - \frac{(1-p)}{n+1} \; p<1$ $p(0) = p$ $p(n)$ $F (n) = 1 - \frac{(1 - p)^{n + 1}}{n!}$ $F(n) = 1 - \frac{ (1-p)^{n+1} }{ n! }$ $S(n) = 1 - F(n) = \frac{ (1-p)^{n+1} }{ n! }$ $\sum_{i = 0}^{\infty} S (i) = E [N]$ $\sum_{i=0}^{\infty} S(i) = E[N]$ $E [N] = (1 - p) e^{(1 - p)}$ $E[N] = (1-p)e^{(1-p) }$

— Cam.Davidson.Pilon
source

Cam, ce n'est pas la fonction de hasard, mais plutôt la fonction de survie . :-)

— Cardinal

ty, * modifié pour la survie

— Cam.Davidson.Pilon