Ajustement de la distribution t dans R: paramètre d'échelle

Comment ajuster les paramètres d'une distribution t, c'est-à-dire les paramètres correspondant à la «moyenne» et à «l'écart-type» d'une distribution normale. Je suppose qu'ils sont appelés «moyenne» et «échelle / degrés de liberté» pour une distribution t?

Le code suivant entraîne souvent des erreurs «échec de l'optimisation».

library(MASS)
fitdistr(x, "t")

Dois-je d'abord mettre à l'échelle x ou convertir en probabilités? Comment le faire au mieux?

fitdistrutilise des techniques de maximisation de vraisemblance et d'optimisation pour trouver les paramètres d'une distribution donnée. Parfois, en particulier pour la distribution t, comme l'a remarqué @ user12719, l'optimisation sous la forme:

fitdistr(x, "t")

échoue avec une erreur.

Dans ce cas, vous devez donner un coup de main à l'optimiseur en fournissant le point de départ et la borne inférieure pour commencer à rechercher les paramètres optimaux:

fitdistr(x, "t", start = list(m=mean(x),s=sd(x), df=3), lower=c(-1, 0.001,1))

Notez que df=3c'est votre meilleure estimation de ce que dfpourrait être un "optimal" . Après avoir fourni ces informations supplémentaires, votre erreur disparaîtra.

Quelques extraits pour vous aider à mieux comprendre les mécanismes internes de fitdistr:

Pour les distributions normale, log-normale, géométrique, exponentielle et de Poisson, les MLE de forme fermée (et les erreurs standard exactes) sont utilisées et startne doivent pas être fournies.

...

Pour les distributions nommées suivantes, des valeurs de départ raisonnables seront calculées si elles startsont omises ou seulement partiellement spécifiées: "cauchy", "gamma", "logistic", "binomial négatif" (paramétré par mu et taille), "t" et "weibull ". Notez que ces valeurs de départ peuvent ne pas être assez bonnes si l'ajustement est médiocre: en particulier, elles ne résistent pas aux valeurs aberrantes à moins que la distribution ajustée ne soit à longue queue.

$\nu$$t$

$\nu$$t$

set.seed(1234)
n <- 10
x <- rt(n,  df=2.5)

make_loglik  <-  function(x)
    Vectorize( function(nu) sum(dt(x, df=nu,  log=TRUE)) )

loglik  <-  make_loglik(x)
plot(loglik,  from=1,  to=100,  main="loglikelihood function for df     parameter", xlab="degrees of freedom")
abline(v=2.5,  col="red2")

$n$

Essayons quelques simulations:

t_nu_mle  <-  function(x) {
    loglik  <-  make_loglik(x)
    res  <-  optimize(loglik, interval=c(0.01, 200), maximum=TRUE)$maximum
    res   
}

nus  <-  replicate(1000, {x <- rt(10, df=2.5)
    t_nu_mle(x) }, simplify=TRUE)

> mean(nus)
[1] 45.20767
> sd(nus)
[1] 78.77813

L'affichage de l'estimation est très instable (en regardant l'histogramme, une partie importante des valeurs estimées est à la limite supérieure donnée pour optimiser de 200).

Répéter avec un échantillon plus grand:

nus  <-  replicate(1000, {x <- rt(50, df=2.5)
    t_nu_mle(x) }, simplify=TRUE)
> mean(nus)
[1] 4.342724
> sd(nus)
[1] 14.40137

ce qui est beaucoup mieux, mais la moyenne est toujours bien supérieure à la valeur réelle de 2,5.

N'oubliez pas qu'il s'agit d'une version simplifiée du problème réel où les paramètres de localisation et d'échelle doivent également être estimés.

$t$$\nu$

Dans l'aide pour fitdistr se trouve cet exemple:

fitdistr(x2, "t", df = 9)

indiquant que vous avez juste besoin d'une valeur pour df. Mais cela suppose une normalisation.

Pour plus de contrôle, ils montrent également

mydt <- function(x, m, s, df) dt((x-m)/s, df)/s
fitdistr(x2, mydt, list(m = 0, s = 1), df = 9, lower = c(-Inf, 0))

où les paramètres seraient m = moyenne, s = écart type, df = degrés de liberté