Limites supérieures pour la densité de copule?

La limite supérieure de Fréchet – Hoeffding s'applique à la fonction de distribution des copules et est donnée par

C (u_{1}, . . ., u_{d}) \leq min {u_{1}, . ., u_{d}} .

$C(u_1,...,u_d)\leq \min\{u_1,..,u_d\}.$

Existe-t-il une limite supérieure similaire (dans le sens où cela dépend des densités marginales) pour la densité de copule au lieu du CDF? $c(u_1,...,u_d)$

Toute référence serait grandement appréciée.

— Coppola
source

Quel genre de limite recherchez-vous? Une description de votre problème réel pourrait vous aider. Techniquement, la réponse est «non» de deux manières différentes: (i) il peut ne pas y avoir de densité (!) Et (b) s'il y en avait, nous pourrions la changer sur un ensemble de mesure zéro pour être aussi grand que nous » j'aime. Mais nous savons quelque chose . En particulier, supposons que

c

$c$ existe et que

R = [a_{1}, b_{1}] \times \dots \times [a_{n}, b_{n}] \subset [0, 1]^{d}

$R = [a_1,b_1] \times \dots \times [a_n,b_n] \subset \mathbb [0,1]^d$ soit n'importe quel (hyper) rectangle de longueur de côté

. Alors, certainement

w_{i} = b_{i} - a_{i}

$w_i = b_i - a_i$

{e s s i n f}_{x \in R} c (x) \leq (min_{i} w_{i}) / \prod_{i} w_{i} .

$\mathrm{ess\,inf}_{x \in R} \,c(x) \leq (\min_i w_i) / \prod_i w_i \>.$

— Cardinal

Comme vous pouvez facilement construire des exemples qui satisfont à cette limite, je soupçonne qu'il n'y a pas beaucoup plus à dire. Mais je n'y ai pas réfléchi attentivement.

— cardinal

@cardinal Merci pour vos commentaires. En effet, je suppose que la densité existe afin d'éviter le cas trivial. Je cherchais une limite supérieure en termes de densités marginales. Je m'intéresse particulièrement à la copule gaussienne.

— Coppola

S'il s'agit d'une copule, toutes les densités marginales sont uniformes, c'est-à-dire une fonction constante. :)

— Cardinal

@cardinal Pardon my French. Permettez-moi de reformuler ma question. La copule gaussienne (dont je suis particulièrement intéressé) est donnée par

. Où

s (x_{1}, . . ., x_{d}; R) = \frac{1}{det (R)^{1 / 2}} \exp (- 0.5 u^{T} (R^{- 1} - I) u) \prod_{j = 1}^{d} f_{j} (x_{j})

$s(x_1,...,x_d;R)=\dfrac{1}{\mbox{det}(R)^{1/2}}\exp(-0.5 u^T(R^{-1}-I)u) \prod_{j=1}^d f_j(x_j)$

u = (u_{1}, . . ., u_{d})

$u=(u_1,...,u_d)$

. Ceci, par exemple, ne peut pas être limité par le produit

. Donc, je cherchais une autre borne supérieure qui n'implique que les marginaux. Et, bien sûr, j'essayais de poser la question d'une manière plus générale, en la reliant aux limites susmentionnées. Toutes mes excuses pour mes mots vagues.

u_{j} = Φ^{- 1} (F_{j} (x_{j}))

$u_j=\Phi^{-1}(F_j(x_j))$

\prod_{j = 1}^{n} f_{j} (x_{j})

$\prod_{j=1}^n f_j(x_j)$

— Coppola

De manière générale, non, il n'y en a pas. Par exemple, dans le cas de la copule gaussienne bivariée, la quantité dans l'exposant a un point de selle à (0,0), et explose donc à l'infini dans deux directions. Si vous rencontrez une classe de densités de copules qui sont en fait délimitées, faites-le moi savoir!

— MHankin
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Pourriez-vous préciser ce que vous entendez par «quantité dans l'exposant»? La présence d'un «point de selle» ne semble pas compatible avec une définition standard d'une distribution gaussienne.

— whuber

@whuber La densité d'une copule gaussienne n'est pas une gaussienne standard. Si vous regardez le commentaire de coppola ci-dessus, vous remarquerez que la densité de copule gaussienne a un

où vous vous attendez à la matrice de covariance inverse. La matrice de covariance inverse doit être symétrique positive semi définie, mais le -I permet une définition non positive, et donc un point de selle. Sa présence est due au changement de variables lors de la conversion du

R^{- 1} - I

$R^{-1}-I$

R^{n}

$\mathbb{R}^n$

[0, 1]^{n}

$[0,1]^n$

— MHankin

R

$R$

R

$R$

x_{i}

$x_i$

R

$R$

@whuber Je viens de vous envoyer par e-mail une version modifiable d'un résumé plus approfondi de mon exemple. Faites-moi savoir si vous pensez que cela semble précis, auquel cas je l'ajouterai à ma réponse ci-dessus. [read_only_version] { overleaf.com/read/bkyjjtmmmnpb }

— MHankin