Lien entre fonction génératrice de moments et fonction caractéristique

J'essaie de comprendre le lien entre la fonction de génération de moment et la fonction caractéristique. La fonction de génération de moment est définie comme:

M_{X} (t) = E (\exp (t X)) = 1 + \frac{t E (X)}{1} + \frac{t^{2} E (X^{2})}{2!} + \dots + \frac{t^{n} E (X^{n})}{n!}

$M_X(t) = E(\exp(tX)) = 1 + \frac{t E(X)}{1} + \frac{t^2 E(X^2)}{2!} + \dots + \frac{t^n E(X^n)}{n!}$

En utilisant l'expansion en série de , Je peux trouver tous les moments de la distribution pour la variable aléatoire X. $\exp(tX) = \sum_0^{\infty} \frac{(t)^n \cdot X^n}{n!}$

La fonction caractéristique est définie comme:

φ_{X} (t) = E (\exp (je t X)) = 1 + \frac{je t E (X)}{1} - \frac{t^{2} E (X^{2})}{2!} + \dots + \frac{(je t)^{n} E (X^{n})}{n!}

$\varphi_X(t) = E(\exp(itX)) = 1 + \frac{it E(X)}{1} - \frac{t^2 E(X^2)}{2!} + \ldots + \frac{(it)^n E(X^n)}{n!}$

Je ne comprends pas vraiment quelles informations le nombre imaginaire me donne le plus. Je vois que et donc nous n'avons pas seulement dans la fonction caractéristique, mais pourquoi devons-nous soustraire des moments dans la fonction caractéristique? Quelle est l'idée mathématique? $i$ $i^2 = -1$ $+$

— Giuseppe
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Un point important est que la fonction de génération de moment n'est pas toujours finie! (Voir cette question , par exemple.) Si vous voulez construire une théorie générale, disons, sur la convergence dans la distribution, vous aimeriez pouvoir la faire fonctionner avec autant d'objets que possible. La fonction caractéristique est, bien sûr, finie pour toute variable aléatoire puisque

| \exp (i t X) | \leq 1

$|\exp(itX)| \leq 1$ .

— cardinal

Les similitudes dans les extensions de Taylor permettent encore de lire les moments, lorsqu'ils existent, mais notez que toutes les distributions n'ont pas de moments, donc l'intérêt pour ces fonctions va bien au-delà! :)

— Cardinal

Un autre point à noter est que le MGF est la transformation de Laplace d'une variable aléatoire et le CF est la transformée de Fourier. Il existe des relations fondamentales entre ces transformations intégrales, voir ici .

— tchakravarty

Je pensais que CF est la transformée de Fourier inverse (et non la transformée de Fourier) d'une distribution de propabilité?

— Giuseppe

La distinction n'est qu'une question de signe dans l'exposant, et peut-être une constante multiplicative.

— Glen_b -Reinstate Monica

Comme mentionné dans les commentaires, les fonctions caractéristiques existent toujours, car elles nécessitent l'intégration d'une fonction du module . Cependant, la fonction de génération de moments n'a pas besoin d'exister car elle nécessite en particulier l'existence de moments de n'importe quel ordre. $1$

Quand on sait que est intégrable pour tout , on peut définir pour chaque nombre complexe . On remarque alors que et . $E[e^{tX}]$ $t$ $g(z):=E[e^{zX}]$ $z$ $M_X(t)=g(t)$ $\varphi_X(t)=g(it)$

— Davide Giraudo
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