Le théorème central à plusieurs variables (CLT) tient-il lorsque les variables présentent une dépendance contemporaine parfaite?

$X_i \overset{iid}{\backsim} \mathcal{N}(0, 1)$ $i = 1, ..., n$

S_{n} = \frac{1}{n} \sum_{je = 1}^{n} X_{je}

$\begin{equation} S_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \end{equation}$

T_{n} = \frac{1}{n} \sum_{je = 1}^{n} (X_{je}^{2} - 1)

$\begin{equation} T_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i^2 - 1) \end{equation}$

S_{n}

$S_n$

T_{n}

$T_n$

n = 1

$n = 1$

\sqrt{n} S_{n}

$\sqrt{n} S_n$

\sqrt{n} T_{n}

$\sqrt{n} T_n$

n \to \infty

$n \rightarrow \infty$

La motivation: ma motivation pour la question vient du fait qu'il semble étrange (mais merveilleux) que $S_n$ et $T_n$ soient parfaitement dépendants lorsque $n = 1$ , mais l'implication du CLT multivarié est qu'ils approchent l'indépendance comme $n \rightarrow \infty$ (cela suivrait puisque $S_n$ et $T_n$ sont pas corrélés pour tous les $n$ , donc s'ils sont normaux asymptotiquement joints, alors ils doivent également être indépendants asymptotiquement).

Merci d'avance pour toutes réponses ou commentaires!

ps, si vous pouvez fournir des références, etc. tant mieux!

— Colin T Bowers
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Pas de réponse, mais un commentaire. Je ne trouve pas cela très surprenant. La dépendance que vous notez pour n = 1 diminue rapidement lorsque n augmente.

— Erik

@egbutter a fourni une bonne réponse. Si vous cherchez toujours une alternative ou une intuition supplémentaire, envoyez-moi un ping et je verrai comment écrire quelque chose d'un peu différent.

— Cardinal

@cardinal Merci beaucoup pour l'offre, mais je suis assez content à ce stade - j'ai attribué la prime à egbutter. Je pense que j'ai l'intuition. Mon objectif principal en postant était de voir si quelqu'un intervenait et disait "Non non non vous vous trompez à cause de ..." :-) Vive.

— Colin T Bowers,

Réponses:

La réponse courte si je comprends bien votre q est "oui, mais ..." les taux de convergence sur S, T et tout autre moment ne sont pas nécessairement les mêmes - consultez la détermination des limites avec le théorème de Berry-Esseen .

Au cas où je comprendrais mal votre q, Sn et Tn tiennent même au CLT dans des conditions de faible dépendance (mixage): consultez le CLT de Wikipedia pour les processus dépendants .

Le CLT est un tel théorème général - la preuve de base ne nécessite rien de plus que la fonction caractéristique de Sn et Tn converge vers la fonction caractéristique de la normale standard, alors le théorème de continuité de Levy dit que la convergence de la fonction caractéristique implique la convergence de la distribution.

John Cook fournit une excellente explication de l'erreur CLT ici .

— egbutter
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Merci d'avoir répondu. Je ne suis pas vraiment préoccupé par le taux de convergence en ce qui concerne cette question, ni par le fait que le CLT tiendra dans des conditions plus générales, par exemple la dépendance. Ce que j'espérais vraiment, c'est une référence ou un énoncé qui justifie l'utilisation du CLT multivarié lorsque la ième composante de chaque somme présente une dépendance contemporaine parfaite. J'ai par la suite trouvé une référence dans la "Théorie des limites stochastiques" de Davidson indiquant que la CLT multivariée est donnée en fonction d'une dépendance contemporaine arbitraire, mais je cherche toujours un peu de rigueur autour de cette affirmation.

— Colin T Bowers,

On dirait que vous pensez trop à cela. Votre i dans [1, n] est-il le composant "contemporain" auquel vous faites référence? Si c'est le cas, alors le point important est que votre Sn et Tn convergeront toujours (vous pouvez le prouver vous-même en utilisant la même méthode que la preuve CLT "old-school" mentionnée ci-dessus) - mais pour un i donné, leurs erreurs sois différent. Cela ne change rien au fait que CLT est titulaire. La distinction multi / univariée n'est pas importante.

— egbutter

Oui, les i sont les composants contemporains. Bonne suggestion concernant l'exécution de l'exemple dans une épreuve. Je l'avais fait et je n'ai trouvé aucun problème, ce qui m'a rendu paradoxalement plus nerveux. Peut-être que je réfléchis trop à ce point :-) Merci encore pour la réponse. Si personne d'autre n'a une fissure à une réponse d'ici la fin de la journée, je marquerai votre réponse comme la réponse. À votre santé.

— Colin T Bowers,

Je peux certainement faire preuve d'empathie - je fais souvent la même chose! :)

— egbutter

Cela ne prouve rien, bien sûr, mais je trouve toujours que faire des simulations et tracer des graphiques est très pratique pour donner un sens aux résultats théoriques.

$n$ $S_n$ $T_n$ $m$ $n = 1, 10, 100$ $1000$ $n$ $n = 100$

test <- function (m, n) 
{
    r <- matrix(rnorm(m * n), nrow = m)
    cbind(rowMeans(r), rowSums(r^2 - 1)/n)
}

par(mfrow=c(2,2))
plot(test(100, 1))
plot(test(100, 2))
plot(test(100, 5))
plot(test(100, 100))

entrez la description de l'image ici

— Hong Ooi
source