Quel est le problème avec ma preuve de la loi de la variance totale?

Selon la loi de la variance totale,

$$\operatorname{Var}(X)=\operatorname{E}(\operatorname{Var}(X\mid Y)) + \operatorname{Var}(\operatorname{E}(X\mid Y))$$

En essayant de le prouver, j'écris

$$\begin{equation} \begin{aligned} \operatorname{Var}(X) &= \operatorname{E}(X - \operatorname{E}X)^2 \\ &= \operatorname{E}\left\{\operatorname{E}\left[(X - \operatorname{E}X)^2\mid Y\right]\right\} \\ &= \operatorname{E}(\operatorname{Var}(X\mid Y)) \end{aligned} \end{equation}$$

Qu'est ce qui ne va pas avec ça?

La troisième ligne est fausse, car vous n'avez pas $\text{E}[X|Y]$dans la deuxième ligne. Par exemple, si$Y$ est Bernoulli (1/2) et $X$ vaut 1 si $Y$ vaut 1 et -1 si $Y$ est 0, alors $\text{E}[(X-\text{E}[X|Y])^2|Y] = 0$ (c'est ce que tu veux) parce que $Y$ est totalement informatif de $X$mais ce que vous avez vous donnera $\text{E}[(X-\text{E}[X])^2|Y] = \text{E}[(X-0)^2|Y] = \text{E}[X^2|Y] = 1 \ne 0$.

Je ne vais pas mentir, vous m'avez fait me poser des questions et j'ai dû le regarder un peu avant que cela ne me frappe, même si j'ai dû me prouver LOTV un milliard de fois: P

La transition de la deuxième à la troisième ligne ne suit pas. Depuis$\mathbb{E}(X) \neq \mathbb{E}(X|Y)$ tu as:

$$\mathbb{E}[ (X - \mathbb{E}(X))^2 | Y ] \neq \mathbb{E}[ (X - \mathbb{E}(X|Y))^2 | Y ] = \mathbb{E}[ \mathbb{V}(X|Y) ].$$

Dans le cas particulier où $\mathbb{E}(X) = \mathbb{E}(X|Y=y)$ pour tous $y \in \mathbb{R}$ votre travail et votre résultat tiendraient, et seraient un cas particulier du résultat plus général.

$$\require{cancel} \begin{aligned} \operatorname{Var}(X) &= \operatorname{E}(X - \operatorname{E}X)^2 \\ &= \operatorname{E}\left(\operatorname{E}\left[(X - \operatorname{E}X)^2\mid Y\right]\right) \\ &\ne \operatorname E\left( \operatorname E\left[ (X-\operatorname E(X\mid Y))^2 \right] \mid Y \right) \\ &= \operatorname{E}(\operatorname{Var}(X\mid Y)) \end{aligned}$$