La valeur d'une fonction de densité de probabilité pour une entrée donnée est-elle un point, une plage ou les deux?

Ce message dit

Un fichier PDF est utilisé pour spécifier la probabilité que la variable aléatoire tombe dans une plage particulière de valeurs, par opposition à la prise de n'importe quelle valeur.

Est-ce vrai?

c'est le PDF de la distribution normale standard.

φ (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- x^{2} / 2}

$\varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}$

branchez x = 0 dans la formule ci-dessus, je peux obtenir la probabilité de prendre une valeur.

Est-ce que ce message signifie que le PDF pourrait être utilisé à la fois pour le point et l'intervalle?

distributions terminology

— yaojp
source

Cette réponse de whuber va plus en détail sur la façon d'interpréter la valeur du PDF à un certain point.

— COOLSerdash

Bienvenue sur CV yaojp. Je soupçonne que la notation peut jouer un rôle dans votre perplexité: la fonction est la fonction de distribution cumulative de la distribution normale standard qui est explicitement une intégrale de à donc ses probabilités non nulles doivent provenir d'intervalles .

φ (x)

$\varphi(x)$

- \infty

$-\infty$

x

$x$

— Alexis

Vous pouvez également interpréter la densité de la manière suivante: pour un très petit intervalle elle contient:

[x - ϵ, x + ϵ]

$[x-\epsilon, x+\epsilon]$

P (X \in [x - ϵ, x + ϵ]) \approx 2 ϵ f (x)

$P(X \in [x-\epsilon,x+\epsilon]) \approx 2\epsilon f(x)$

— Sebastian

Réponses:

La citation est vraie. Lorsque vous branchez à la fonction PDF, vous n'obtenez PAS la probabilité de prendre cette valeur particulière. Le nombre résultant est une densité de probabilité qui n'est pas une probabilité. La probabilité de prendre exactement est nulle (considérons le nombre infini de valeurs similaires dans le minuscule intervalle ). $x=0$ $x=0$ $x\in[0,10^{-100}]$

Pour vous convaincre davantage que ce ne peut pas être une probabilité, envisagez de diminuer l'écart-type de votre distribution normale de à . Maintenant, - bien plus qu'un. Pas une probabilité. $\varphi(x)$ $\sigma = 1$ $\sigma = \frac{1}{100}$ $\varphi(0)=\frac{100}{\sqrt{2\pi}}$

— Trisoloriansunscreen
source

Merci pour votre réponse. À quoi sert ? Est-ce discret? Pourriez-vous s'il vous plaît donner une notation d'ensemble, quelque chose comme ?

x \in [{0..10}^{- 100}]

$x\in[0..10^{-100}]$

{0, . . ., 10^{- 99}, 10^{- 100}}

$\{0, ..., 10^{-99}, 10^{-100}\}$

— yaojp

Désolé pour la notation bâclée. Continu, non discret - tous les nombres entre 0 et . Le fait est que si était la probabilité de prendre une valeur particulière, la probabilité totale pour ce minuscule intervalle serait l'infini.

10^{- 100}

$10^{-100}$

φ (x)

$\varphi(x)$

— Trisoloriansunscreen

+1 Bienvenue sur CV, @Trisoloriansunscreen. Je suis amusé par votre nom, en supposant comme moi, qu'il fait référence à la trilogie de Cixin Liu?

— Alexis

@Alexis, correct :)

— Trisoloriansunscreen

En développant un peu la réponse de Trisoloriansunscreen : il est très vrai que vous n'avez obtenu qu'une fonction de densité de probabilité . Je voudrais faire une analogie pour vous. Imaginez que vous ayez un objet 3D, par exemple un vaisseau spatial complexe, et que vous connaissiez la densité de masse à chaque point.

Par exemple, certaines parties du vaisseau spatial peuvent contenir de l'eau, qui a une densité de masse de . Est-ce que cela vous dit déjà quelque chose sur la masse de tout le vaisseau spatial? Non! Précisément parce que vous ne connaissez cette valeur qu'à un moment précis. Vous n'avez aucune information sur la quantité d'eau qu'il y a réellement. Il peut s'agir de ou . $997 \frac{\text{g}}{\text{l}}$ $1\ \text{ml}$ $1\ \text{l}$

Supposons maintenant que vous connaissiez la quantité d'eau, disons . Par simple multiplication , vous obtenez environ . Je tiens à souligner que vous venez de faire une intégration déguisée! Considérez l'image suivante: $2\ \text{l}$ $997 \frac{\text{g}}{\text{l}} \cdot 2\ \text{l}$ $1994\ \text{g}$

La masse que vous avez calculée n'est que la zone rectangulaire ombrée de vert. Cela n'était réalisable que comme une simple multiplication car la masse volumique était constante pour la quantité d'eau considérée et donnait ainsi une zone rectangulaire.

Et si vous aviez des formes d'eau mélangées, par exemple du gaz, du liquide, des températures variables, etc.? Cela pourrait ressembler à ceci:

Maintenant, pour calculer la masse, vous auriez besoin d'intégrer cette fonction de densité de masse sur la quantité d'eau. Voyez-vous maintenant le parallèle avec les fonctions de densité de probabilité ? Pour obtenir une probabilité réelle (cf. masse), vous devez intégrer la densité de probabilité (cf. densité de masse) sur un certain domaine.

— ComFreek
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@Downvoter: Pourriez-vous s'il vous plaît inclure des commentaires constructifs dans un commentaire? :)

— ComFreek