Corrélations réalisables pour les variables aléatoires lognormales

Considérons les variables aléatoires lognormales $X_1$ et $X_2$ avec $\log(X_1)\sim \mathcal{N}(0,1)$ et $\log(X_2)\sim \mathcal{N}(0,\sigma^2)$ .

J'essaie de calculer $\rho_{\max}$ et pour . Une étape dans la solution donnée que j'ai est:$\rho_{\min}$$\rho (X_1,X_2)$

$\rho_{\max}=\rho (\exp(Z),\exp(\sigma Z))$ et ,$\rho_{\min}=\rho (\exp(Z),\exp(-\sigma Z))$

mais ils ont fait quelques références à la comonotonicité et à la contre-comonotonicité. J'espérais que quelqu'un m'aiderait à comprendre leur pertinence. (Je sais comment obtenir cela de l'expression générale, mais je veux savoir précisément ce que les parties de comonotonicité disaient.)

Je commencerai par donner la définition de la comonotonicité et de la contre- monotonie . Ensuite, je mentionnerai pourquoi cela est pertinent pour calculer le coefficient de corrélation minimum et maximum possible entre deux variables aléatoires. Et enfin, je vais calculer ces limites pour les variables aléatoires lognormales et X 2 .$X_1$$X_2$

Comonotonicité et contre-monotonicité
Les variables aléatoires sont dites comonotoniques si leur copule est la borne supérieure de Fréchet M ( u 1 , … , u d ) = min ( u 1 , … , u d ) , qui est le type le plus fort de dépendance "positive". On peut montrer que X 1 , … , X $X_1, \ldots, X_d$ $M(u_1, \ldots, u_d) = \min(u_1, \ldots, u_d)$
$X_1, \ldots, X_d$ sont comonotoniques si et seulement si où Z est une variable aléatoire, h 1 , … , h d sont des fonctions croissantes , et d = dénote l'égalité dans la distribution. Ainsi, les variables aléatoires comonotoniques ne sont que les fonctions d'une seule variable aléatoire.

$$(X_1, \ldots, X_d) \stackrel{\mathrm{d}}{=} (h_1(Z), \ldots, h_d(Z)),$$ $Z$$h_1, \ldots, h_d$$\stackrel{\mathrm{d}}{=}$

Les variables aléatoires sont dites contre - monotones si leur copule est la borne inférieure de Fréchet W ( u 1 , u 2 ) = max ( 0 , u 1 + u 2 - 1 ) , qui est le type le plus fort de " dépendance "négative" dans le cas bivarié. La contre-monotonocité ne se généralise pas aux dimensions supérieures. On peut montrer que X 1 , X 2 sont contre-monotones si et seulement si $X_1, X_2$ $W(u_1, u_2) = \max(0, u_1 + u_2 - 1)$
$X_1, X_2$ où Z est une variable aléatoire, et h 1 et h 2 sont respectivement une fonction croissante et une fonction décroissante, ou vice versa.

$$(X_1, X_2) \stackrel{\mathrm{d}}{=} (h_1(Z), h_2(Z)),$$ $Z$$h_1$$h_2$

Corrélation réalisable
Soit et X 2 deux variables aléatoires avec des variances strictement positives et finies, et soit ρ min et ρ max désignent le coefficient de corrélation minimum et maximum possible entre X $X_1$$X_2$$\rho_{\min}$$\rho_{\max}$$X_1$ et . Ensuite, on peut montrer que$X_2$

• si et seulement si X ${\rm \rho}(X_1, X_2) = \rho_{\min}$$X_1$ et sont contre-monotones;$X_2$
• si et seulement si${\rm \rho}(X_1, X_2) = \rho_{\max}$ et X 2 sont comonotoniques.$X_1$$X_2$

Corrélation réalisable pour les variables aléatoires lognormales
Pour obtenir nous utilisons le fait que la corrélation maximale est atteinte si et seulement si X 1 et X 2 sont comonotoniques. Les variables aléatoires X 1 = e Z et X 2 = e σ Z où Z ∼ N ( 0 , 1 ) sont comonotoniques puisque la fonction exponentielle est une fonction (strictement) croissante, et donc ρ max = c o r r $\rho_{\max}$$X_1$$X_2$$X_1 = e^{Z}$$X_2 = e^{\sigma Z}$$Z \sim {\rm N} (0, 1)$ .$\rho_{\max} = {\rm corr} \left (e^Z, e^{\sigma Z} \right )$

En utilisant les propriétés des variables aléatoires lognormales , nous avons , E ( e σ Z ) = e σ 2 / 2 , v un r ( e Z ) = e ( e - 1 ) , v a r ( e σ Z ) = e 2 - 1 ${\rm E}(e^Z) = e^{1/2}$${\rm E}(e^{\sigma Z}) = e^{\sigma^2/2}$${\rm var}(e^Z) = e(e - 1)$${\rm var}(e^{\sigma Z}) = e^{\sigma^2}(e^{\sigma^2} - 1)$ , et la covariance est

$$\begin{align} {\rm cov}\left (e^Z, e^{\sigma Z}\right ) &= {\rm E}\left (e^{(\sigma + 1) Z}\right ) - {\rm E}\left (e^{\sigma Z}\right ){\rm E}\left (e^Z\right ) \\ &= e^{(\sigma + 1)^2/2} - e^{(\sigma^2 + 1)/2} \\ &= e^{(\sigma^2 + 1)/2} ( e^{\sigma} -1 ). \end{align}$$ Thus, $$\begin{align} \rho_{\max} & = \frac{ e^{(\sigma^2 + 1)/2} ( e^{\sigma} -1 ) } { \sqrt{ e(e - 1) e^{\sigma^2}(e^{\sigma^2} - 1) } } \\ & = \frac{ ( e^{\sigma} -1 ) } { \sqrt{ (e - 1) (e^{\sigma^2} - 1) } }. \end{align}$$

Similar computations with $X_2 = e^{-\sigma Z}$ yield

$$\begin{align} \rho_{\min} & = \frac{ ( e^{-\sigma} -1 ) } { \sqrt{ (e - 1) (e^{\sigma^2} - 1) } }. \end{align}$$

Comment
This example shows that it is possible to have a pair of random variable that are strongly dependent — comonotonicity and countermonotonicity are the strongest kind of dependence — but that have a very low correlation. The following chart shows these bounds as a function of $\sigma$.

This is the R code I used to produce the above chart.

curve((exp(x)-1)/sqrt((exp(1) - 1)*(exp(x^2) - 1)), from = 0, to = 5,
      ylim = c(-1, 1), col = 2, lwd = 2, main = "Lognormal attainable correlation",
      xlab = expression(sigma), ylab = "Correlation", cex.lab = 1.2)
curve((exp(-x)-1)/sqrt((exp(1) - 1)*(exp(x^2) - 1)), col = 4, lwd = 2, add = TRUE)
legend(x = "bottomright", col = c(2, 4), lwd = c(2, 2), inset = 0.02,
       legend = c("Correlation upper bound", "Correlation lower bound"))
abline(h = 0, lty = 2)