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Je suis confus. Je ne comprends pas la différence entre un procédé ARMA et un processus GARCH. Pour moi, il en va de même.

Voici le processus (G) ARCH (p, q)

σ_{t}^{2} = \underset{G A R C H}{\underset{⏟}{\underset{A R C H}{\underset{⏟}{α_{0} + \sum_{i = 1}^{q} α_{i} r_{t - i}^{2}}} + \sum_{i = 1}^{p} β_{i} σ_{t - i}^{2}}}

$\sigma_t^2 = \underbrace{ \underbrace{ \alpha_0 + \sum_{i=1}^q \alpha_ir_{t-i}^2} _{ARCH} + \sum_{i=1}^p\beta_i\sigma_{t-i}^2} _{GARCH}$

Et voici l'ARMA ( $p, q$ ):

X_{t} = c + ε_{t} + \sum_{i = 1}^{p} φ_{i} X_{t - i} + \sum_{i = 1}^{q} θ_{i} ε_{t - i} .

$X_t = c + \varepsilon_t + \sum_{i=1}^p \varphi_i X_{t-i} + \sum_{i=1}^q \theta_i \varepsilon_{t-i}.\,$

Est-ce que l'ARMA est simplement une extension de GARCH, GARCH n'étant utilisé que pour les retours et avec l'hypothèse $r = \sigma\varepsilon$ où $\varepsilon$ suit un processus de blanc intense?

arima garch finance

— John
source

1

En plus de la réponse de fg nu, le processus de variance dans GARCH varie avec le temps. Cependant, il y a un truc ici, c'est que, étant donné une série chronologique de log-return de SP500, que devons-nous faire pour obtenir le processus de volatilité? Certaines personnes disent qu'il faut utiliser le modèle ARMA pour retirer la série résiduelle, puis brancher cette série résiduelle dans le modèle GARCH pour obtenir le processus de variance conditionnelle. Ou connectez-vous directement le journal de connexion connectez le processus de journal de sortie du SP500 au modèle GARCH pour obtenir la variance conditionnelle?

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Vous associez les caractéristiques d'un processus à sa représentation. Considérons le processus (retour) . $(Y_t)_{t=0}^\infty$

Un modèle ARMA (p, q) spécifie la moyenne conditionnelle du processus comme suit:

Ici,est l'information fixée à l'instant, qui est laalgèbre générée par les valeurs décalées du processus final.

\begin{aligned} E (Y_{t} ∣ I_{t}) & = α_{0} + \sum_{j = 1}^{p} α_{j} Y_{t - j} + \sum_{k = 1}^{q} β_{k} ϵ_{t - k} \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb{E}(Y_t \mid \mathcal{I}_t) &= \alpha_0 + \sum_{j=1}^p \alpha_j Y_{t-j}+ \sum_{k=1}^q \beta_k\epsilon_{t-k}\\ \end{align}$

I_{t}

$\mathcal{I}_t$

t

$t$

σ

$\sigma$

(Y_{t})

$(Y_t)$

Le modèle GARCH (r, s) spécifie la variance conditionnelle du processus $\begin{aligned} V (Y_{t} ∣ I_{t}) & = & V (ϵ_{t} ∣ I_{t}) \\ \equiv & σ_{t}^{2} & = & δ_{0} + \sum_{l = 1}^{r} δ_{j} σ_{t - l}^{2} + \sum_{m = 1}^{s} γ_{k} ϵ_{t - m}^{2} \end{aligned}$ $\begin{alignat}{2} & \mathbb{V}(Y_t \mid \mathcal{I}_t) &{}={}& \mathbb{V}(\epsilon_t \mid \mathcal{I}_t) \\ \equiv \,& \sigma^2_t&{}={}& \delta_0 + \sum_{l=1}^r \delta_j \sigma^2_{t-l} + \sum_{m=1}^s \gamma_k \epsilon^2_{t-m} \end{alignat}$

Note en particulier la première équivalence . $\mathbb{V}(Y_t \mid \mathcal{I}_t)= \mathbb{V}(\epsilon_t \mid \mathcal{I}_t)$

En plus : Sur la base de cette représentation, vous pouvez écrire où est un bruit blanc fort, mais cela découle de la façon dont le processus est défini.

ϵ_{t} \equiv σ_{t} Z_{t}

$\epsilon_t \equiv \sigma_t Z_t$

Z_{t}

$Z_t$

Les deux modèles (pour la moyenne conditionnelle et la variance) sont parfaitement compatibles, en ce sens que la moyenne du processus peut être modélisée sous la forme ARMA et les variances sous la forme de GARCH. Ceci conduit à la spécification complète d'un modèle ARMA (p, q) -GARCH (r, s) pour le processus, comme dans la représentation suivante: $\begin{aligned} Y_{t} & = α_{0} + \sum_{j = 1}^{p} α_{j} Y_{t - j} + \sum_{k = 1}^{q} β_{k} ϵ_{t - k} + ϵ_{t} \\ E (ϵ_{t} ∣ I_{t}) & = 0, \forall t \\ V (ϵ_{t} ∣ I_{t}) & = δ_{0} + \sum_{l = 1}^{r} δ_{l} σ_{t - l}^{2} + \sum_{m = 1}^{s} γ_{m} ϵ_{t - m}^{2} \forall t \end{aligned}$ $\begin{align} Y_t &= \alpha_0 + \sum_{j=1}^p \alpha_j Y_{t-j} + \sum_{k=1}^q \beta_k\epsilon_{t-k} +\epsilon_t\\ \mathbb{E}(\epsilon_t\mid \mathcal{I}_t) &=0,\, \forall t \\ \mathbb{V}(\epsilon_t \mid \mathcal{I}_t) &= \delta_0 + \sum_{l=1}^r \delta_l \sigma^2_{t-l} + \sum_{m=1}^s \gamma_m \epsilon^2_{t-m}\, \forall t \end{align}$

— tchakravarty
source

Ne devez-vous pas conditionner les informations au temps

si tous les régresseurs sont en retard?

t - 1

$t-1$

— Jase

@Jase Notez la définition, "Ici,

est l'information définie à l'instant

, qui est la

-algra générée par les valeurs décalées du processus de résultat

." C'est-à-dire que

. Certains auteurs écrivent ceci comme

mais cela va à l’encontre de la notion d’information définie au moment .

I_{t}

$\mathcal{I}_t$

t

$t$

σ

$\sigma$

(Y_{t})

$(Y_t)$

I_{t} = σ (Y_{t - 1}, Y_{t - 2} \dots,)

$\mathcal{I}_t = \sigma(Y_{t-1}, Y_{t-2}\ldots,)$

I_{t - 1}

$\mathcal{I}_{t-1}$ $t$

— tchakravarty

Agréable! Savez-vous pourquoi nous utilisons l'algèbre sigma et non une filtration?

— Jase

1

@Jase, la séquence des ensembles d'information

constitue une filtration .

(I_{t})_{t = 0}^{\infty}

$(\mathcal{I}_t)_{t=0}^\infty$

— tchakravarty

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Edit: J'ai réalisé que la réponse manquait et j'ai donc fourni une réponse plus précise (voir ci-dessous - ou peut-être ci-dessus). J'ai édité celui-ci pour des erreurs factuelles et je le laisse pour le compte rendu.

Différents paramètres de mise au point:

ARMA est un modèle pour la réalisation d'un processus stochastique imposant une structure spécifique de la moyenne conditionnelle du processus.
GARCH est un modèle pour la réalisation d'un processus stochastique imposant une structure spécifique de la variance conditionnelle du processus.

~~Modèle stochastique versus déterministe:~~

ARMA est un modèle stochastique dans le sens où la variable dépendante - les réalisations du processus stochastique - est spécifiée comme la somme d'une fonction déterministe de la variable dépendante retardée et d'une erreur de modèle retardée (la moyenne conditionnelle) et d' un terme d'erreur stochastique.
~~GARCH est un modèle déterministe en ce sens que la variable dépendante - la variance conditionnelle du processus - est une fonction purement déterministe des variables retardées.~~

— Richard Hardy
source

1

La variance conditionnelle du processus GARCH est déterministe dans votre sens défini, mais le processus GARCH ne l'est pas, car

, et

est indépendant des retards de

.

r_{t} = σ_{t} ε_{t}

$r_t=\sigma_t\varepsilon_t$

ε_{t}

$\varepsilon_t$

t

$t$

— Mpiktas

1

@mpiktas, vrai. Si le modèle GARCH contient deux équations, une pour la moyenne conditionnelle (un exemple dont vous avez parlé ci-dessus) et l'autre pour la variance conditionnelle (qui est intuitivement, bien que non mathématiquement, "l'équation principale" du modèle), mon argument ne s'applique que à cette dernière équation.

— Richard Hardy

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ARMA

$y_t$ $p,q$ $I_{t-1}$ $y_t$ $\mu_t$ $y_t$ $I_{t-1}$ $u_t$

\begin{aligned} y_{t} & = μ_{t} + u_{t}; \\ μ_{t} & = φ_{1} y_{t - 1} + \dots + φ_{p} y_{t - p} + θ_{1} u_{t - 1} + \dots + θ_{q} u_{t - q} (known, predetermined); \\ u_{t} | I_{t - 1} & \sim D (0, σ^{2}) (random) \end{aligned}

$\begin{aligned} y_t &= \mu_t + u_t; \\ \mu_t &= \varphi_1 y_{t-1} + \dotsc + \varphi_p y_{t-p} + \theta_1 u_{t-1} + \dotsc + \theta_q u_{t-q} \ \ \text{(known, predetermined)}; \\ u_t | I_{t-1} &~\sim D(0,\sigma^2) \ \ \text{(random)} \\ \end{aligned}$

$D$

$\mu_t$ $p,q$

μ_{t} = φ_{1} μ_{t - 1} + \dots + φ_{p} μ_{t - p} + (φ_{1} + θ_{1}) u_{t - 1} + \dots + (φ_{m} + θ_{m}) u_{t - m},

$\mu_t = \varphi_1 \mu_{t-1} + \dotsc + \varphi_p \mu_{t-p} + (\varphi_1 + \theta_1) u_{t-1} + \dotsc + (\varphi_m + \theta_m) u_{t-m},$

m := max (p, q)

$m:=\max(p,q)$

φ_{i} = 0

$\varphi_i=0$

i > p

$i>p$

θ_{j} = 0

$\theta_j=0$

j > q

$j>q$

p, m

$p,m$

p, q

$p,q$

y_{t}

$y_t$

Nous pouvons également écrire la distribution conditionnelle de en fonction de ses moyennes conditionnelles passées (plutôt que des valeurs réalisées passées) et des paramètres de modèle comme $y_t$

\begin{aligned} y_{t} & \sim D (μ_{t}, σ_{t}^{2}); \\ μ_{t} & = φ_{1} μ_{t - 1} + \dots + φ_{p} μ_{t - p} + (φ_{1} + θ_{1}) u_{t - 1} + \dots + (φ_{m} + θ_{m}) u_{t - m}; \\ σ_{t}^{2} & = σ^{2}, \end{aligned}

$\begin{aligned} y_t &\sim D(\mu_t,\sigma_t^2); \\ \mu_t &= \varphi_1 \mu_{t-1} + \dotsc + \varphi_p \mu_{t-p} + (\varphi_1 + \theta_1) u_{t-1} + \dotsc + (\varphi_m + \theta_m) u_{t-m}; \\ \sigma_t^2 &= \sigma^2, \end{aligned}$

Cette dernière représentation facilite la comparaison entre ARMA et GARCH et ARMA-GARCH.

GARCH

Pensez à qui suit un processus GARCH ( ). Supposons que, pour des raisons de simplicité, la moyenne soit constante. ensuite $y_t$ $s,r$

\begin{aligned} y_{t} & \sim D (μ_{t}, σ_{t}^{2}); \\ μ_{t} & = μ; \\ σ_{t}^{2} & = ω + α_{1} u_{t - 1}^{2} + \dots + α_{s} u_{t - s}^{2} + β_{1} σ_{t - 1}^{2} + \dots + β_{r} σ_{t - r}^{2}; \\ \frac{u_{t}}{σ_{t}} & \sim i . i . D (0, 1), \end{aligned}

$\begin{aligned} y_t &\sim D(\mu_t,\sigma_t^2); \\ \mu_t &= \mu; \\ \sigma_t^2 &= \omega + \alpha_1 u_{t-1}^2 + \dotsc + \alpha_s u_{t-s}^2 + \beta_1 \sigma_{t-1}^2 + \dotsc + \beta_r \sigma_{t-r}^2; \\ \frac{u_t}{\sigma_t} &\sim i.i.D(0,1), \\ \end{aligned}$

où et est une certaine densité. $u_t:=y_t-\mu_t$ $D$

La variance conditionnelle suit un processus similaire à ARMA ( ) mais sans le terme d'erreur aléatoire aléatoire. $\sigma_t^2$ $s,r$

ARMA-GARCH

Considérons qui a une moyenne inconditionnelle de zéro et suit un processus ARMA ( ) -GARCH ( ). ensuite $y_t$ $p,q$ $s,r$

\begin{aligned} y_{t} & \sim D (μ_{t}, σ_{t}^{2}); \\ μ_{t} & = φ_{1} μ_{t - 1} + \dots + φ_{p} μ_{t - p} + (φ_{1} + θ_{1}) u_{t - 1} + \dots + (φ_{m} + θ_{m}) u_{t - m}; \\ σ_{t}^{2} & = ω + α_{1} u_{t - 1}^{2} + \dots + α_{s} u_{t - s}^{2} + β_{1} σ_{t - 1}^{2} + \dots + β_{r} σ_{t - r}^{2}; \\ \frac{u_{t}}{σ_{t}} & \sim i . i . D (0, 1), \end{aligned}

$\begin{aligned} y_t &\sim D(\mu_t,\sigma_t^2); \\ \mu_t &= \varphi_1 \mu_{t-1} + \dotsc + \varphi_p \mu_{t-p} + (\varphi_1 + \theta_1) u_{t-1} + \dotsc + (\varphi_m + \theta_m) u_{t-m}; \\ \sigma_t^2 &= \omega + \alpha_1 u_{t-1}^2 + \dotsc + \alpha_s u_{t-s}^2 + \beta_1 \sigma_{t-1}^2 + \dotsc + \beta_r \sigma_{t-r}^2; \\ \frac{u_t}{\sigma_t} &\sim i.i.D(0,1), \\ \end{aligned}$

où ; est une certaine densité, par exemple Normal; pour ; et pour . $u_t:=y_t-\mu_t$ $D$ $\varphi_i=0$ $i>p$ $\theta_j=0$ $j>q$

Le processus de moyenne conditionnelle dû à ARMA a essentiellement la même forme que le processus de variance conditionnelle de GARCH; seuls les ordres de décalage peuvent différer (une moyenne non nulle de ne devrait pas changer ce résultat de manière significative). Il est important de noter que ni l'un ni l'autre des termes d'erreur aléatoire une fois conditionnés sur , les deux sont donc prédéterminés. $y_t$ $I_{t-1}$

— Richard Hardy
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3

Les processus ARMA et GARCH sont très similaires dans leur présentation. La ligne de démarcation entre les deux est très fine puisque nous obtenons GARCH lorsqu'un processus ARMA est supposé pour la variance d'erreur.

— utilisateur36853
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Quelle est la différence entre GARCH et ARMA?

ARMA

GARCH

ARMA-GARCH