La situation

Certains chercheurs aimeraient vous endormir. En fonction du tirage au sort secret d'une pièce de monnaie, ils vous éveilleront brièvement une fois (têtes) ou deux fois (queues). Après chaque réveil, ils vous rendront dormir avec un médicament qui vous fera oublier cet éveil. Quand vous serez réveillé, dans quelle mesure devriez- vous croire que le résultat du tirage au sort a été les Têtes?

(OK, peut-être que vous ne voulez pas être le sujet de cette expérience! Supposons plutôt Sleeping Beauty (SB) qui l'accepte (avec l'approbation complète du comité d'examen institutionnel du Magic Kingdom, bien sûr). Elle est sur le point d'aller à dormir pendant cent ans, alors qu'est-ce qu'un ou deux jours de plus, de toute façon?)

[Détail d'une illustration de Maxfield Parrish .]

Êtes-vous un Halfer ou un Thirder?

La position de Halfer. Facile! La pièce est juste - et SB le sait très bien - alors elle devrait croire qu'il y a une chance sur deux d'être gagnée.

La position Thirder. Si cette expérience devait être répétée plusieurs fois, la pièce ne sera frappée que le tiers du temps au réveil de SB. Sa probabilité pour les têtes sera d'un tiers.

Les tiers ont un problème

La plupart des personnes qui ont écrit à ce sujet, mais pas toutes, sont des tiers. Mais:

• Dimanche soir, juste avant que SB s’endorme, elle doit croire que la chance de tête est de moitié: c’est ce que signifie être une pièce de monnaie équitable.

• Chaque fois que SB se réveille, elle n'a absolument rien appris qu'elle ne savait pas dimanche soir. Quel argument rationnel peut-elle alors donner pour affirmer que sa croyance en la tête est maintenant d'un tiers et non d'un demi?

Quelques tentatives d'explications

• SB perdrait nécessairement de l'argent si elle pariait sur des têtes avec une cote autre que 1/3. (Vineberg, entre autres )

• La moitié est tout à fait correcte: utilisez simplement l'interprétation de la mécanique quantique «plusieurs mondes» d'Everett! (Lewis)

• SB met à jour sa conviction en se basant sur la perception de soi de son "emplacement temporel" dans le monde. (Elga, ia )

• SB est confus: «[Il] semble plus plausible de dire que son état épistémique au réveil ne devrait pas inclure un degré défini de croyance en la tête. … Le vrai problème est de savoir comment gérer un dysfonctionnement cognitif connu, inévitable. »[Arntzenius]

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La question

En rendant compte de ce qui a déjà été écrit sur ce sujet (voir les références ainsi que l’article précédent ), comment résoudre ce paradoxe d’une manière statistiquement rigoureuse? Est-ce seulement possible?

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Références

Arntzenius, Frank (2002). Réflexions sur la Belle au bois dormant, Analyse 62.1 pp 53-62.

Bradley, DJ (2010). La confirmation dans un monde embranché: l'interprétation d'Everett et la belle endormie . Brit. J. Phil. Sci. 0 (2010), 1–21.

Elga, Adam (2000). Croyance auto-localisante et le problème de la Belle au bois dormant. Analyse 60 pp 143-7.

Franceschi, Paul (2005). La Belle au bois dormant et le problème de la réduction du monde . Pré-impression.

Groisman, Berry (2007). La fin du cauchemar de la Belle au bois dormant . Pré-impression.

Lewis, D (2001). Belle au bois dormant: réponds à Elga . Analyse 61,3 p 171-6.

Papineau, David et Victor Dura-Vila (2008). Un Thirder et un Everettien: une réponse à la "Quantum Sleeping Beauty" de Lewis .

Pust, Joel (2008). Horgan sur La Belle au bois dormant . Synthese 160 pp 97-101.

Vineberg, Susan (non daté, peut-être 2003). Le récit édifiant de la beauté .

Stratégie

J'aimerais appliquer la théorie de la décision rationnelle à l'analyse, car il s'agit d'un moyen bien établi d'obtenir de la rigueur dans la résolution d'un problème de décision statistique. En essayant de le faire, une difficulté apparaît comme spéciale: l'altération de la conscience de SB.

• La théorie de la décision rationnelle ne dispose d'aucun mécanisme pour gérer les états mentaux altérés.

• En demandant à SB sa crédibilité dans la pièce de monnaie, nous la traitons simultanément de manière quelque peu auto-référentielle à la fois en tant que sujet (de l'expérience SB) et en tant qu'expérimentateur (concernant la pièce de monnaie).

Modifions l'expérience de manière non essentielle: au lieu d'administrer le médicament d'effacement de la mémoire, préparez une étable de clones de la Belle au bois dormant juste avant le début de l'expérience. (C’est l’idée maîtresse, car elle nous aide à résister aux questions philosophiques qui peuvent distraire - mais qui sont finalement hors de propos et trompeuses].

• Les clones lui ressemblent à tous égards, y compris la mémoire et la pensée.

• SB est pleinement conscient que cela se produira.

Nous pouvons cloner, en principe. ET Jaynes remplace la question "Comment pouvons-nous construire un modèle mathématique du bon sens humain" - quelque chose dont nous avons besoin pour réfléchir au problème de la Belle au bois dormant - par "Comment pourrions-nous construire une machine qui réaliserait un raisonnement plausible utile, suivre des principes clairement définis exprimant un sens commun idéalisé? " Ainsi, si vous voulez, remplacez SB par le robot pensant de Jaynes et clonez-le.

(Il y a eu et il y a toujours des controverses sur les machines "pensantes".

"Ils ne fabriqueront jamais une machine pour remplacer l'esprit humain - il fait beaucoup de choses qu'aucune machine ne pourrait jamais faire."

Vous insistez sur le fait qu'une machine ne peut pas faire quelque chose. Si vous voulez me dire précisément ce qu’une machine ne peut pas faire, je peux toujours fabriquer une machine qui fera exactement cela! »

--J. von Neumann, 1948. Cité par ET Jaynes dans La théorie des probabilités: la logique de la science , p. 4.)

--Rube Goldberg

L'expérience de la Belle au bois dormant rappelée

Préparez copies identiques de SB (y compris SB elle-même) le dimanche soir. Ils vont tous se coucher en même temps, potentiellement pour 100 ans. Chaque fois que vous devez réveiller SB pendant l'expérience, sélectionnez au hasard un clone qui n'a pas encore été réveillé. Tous les réveils auront lieu lundi et, si nécessaire, mardi.$n \ge 2$

Je prétends que cette version de l'expérience crée exactement le même ensemble de résultats possibles, y compris l'état mental et la conscience de SB, avec exactement les mêmes probabilités. C'est potentiellement un point clé où les philosophes pourraient choisir d'attaquer ma solution. Je prétends que c'est le dernier point auquel ils peuvent l'attaquer, car l'analyse restante est routinière et rigoureuse.

Nous appliquons maintenant le mécanisme statistique habituel. Commençons par l'espace échantillon (des résultats expérimentaux possibles). Laissez signifie «réveille lundi» et T signifie «réveille mardi». De même, h signifie "têtes" et "t" signifie queues. Indiquez les clones avec les entiers 1 , 2 , … , n . Ensuite, les résultats expérimentaux possibles peuvent être écrits (dans ce que j’espère être une notation transparente et évidente)$M$$T$$h$$1, 2, \ldots, n$

$$\eqalign{ \{&hM_1, hM_2, \ldots, hM_n, \\ &(tM_1, tT_2), (tM_1, tT_3), \ldots, (tM_1, tT_n), \\ &(tM_2, tT_2), (tM_2, tT_3), \ldots, (tM_2, tT_n), \\ &\cdots, \\ &(tM_{n-1}, tT_2), (tM_{n-1}, tT_3), \ldots, (tM_{n-1}, tT_n) & \}. }$$

Probabilités du lundi

Comme l' un des clones SB, vous figurez votre chance d'être réveillé lundi au cours est (une expérience heads-up chance de têtes) fois ( 1 / n chance que je suis choisi pour être le clone qui est réveillé). En termes plus techniques:$1/2$$1/n$

• L'ensemble des résultats de tête est . Il y a n d'entre eux.$h = \{hM_j, j=1,2, \ldots,n\}$$n$

• L'événement où vous êtes réveillé avec des têtes est .$h(i) = \{hM_i\}$

• $i$

  $$\Pr[h(i)] = \Pr[h] \times \Pr[h(i)|h] = \frac{1}{2} \times \frac{1}{n} = \frac{1}{2n}.$$

Probabilités du mardi

• L'ensemble des résultats de tails est . Il y en a . Tous sont également probables, par conception.n ( n - 1 $t = \{(tM_j, tT_k): j \ne k\}$$n(n-1)$

• Vous, clone , êtes réveillé dans de ces cas; à savoir, les façons dont vous pouvez être réveillé lundi (il reste clones à réveiller mardi) plus les façons de vous réveiller mardi (il y a clones possibles le lundi). Appelez cet événement .( n - 1 ) + ( n - 1 ) = 2 ( n - 1 ) n - 1 n - 1 n - 1 n - 1 t ( i $i$$(n-1) + (n-1) = 2(n-1)$$n-1$$n-1$$n-1$$n-1$$t(i)$

• Vos chances d'être réveillé pendant une expérience avec la queue en haut sont égales à

  $$\Pr[t(i)] = \Pr[t] \times P[t(i)|t] = \frac{1}{2} \times \frac{2(n-1}{n(n-1)} = \frac{1}{n}.$$

Théorème de Bayes

Maintenant que nous sommes arrivés si loin, le théorème de Bayes - une tautologie mathématique indiscutable - achève le travail. Toute chance de tête d'un clone est donc

$$\Pr[h | t(i) \cup h(i)] = \frac{\Pr[h]\Pr[h(i)|h]}{\Pr[h]\Pr[h(i)|h] + \Pr[t]\Pr[t(i)|t]} = \frac{1/(2n)}{1/n + 1/(2n)} = \frac{1}{3}.$$

Parce que SB est indiscernable de ses clones - même à elle-même!

Interprétations

La question "quelle est la probabilité des têtes" a deux interprétations raisonnables pour cette expérience: elle peut demander la chance qu'une bonne pièce tombe la tête, qui est (la réponse de Halfer), ou peut demandez la chance que la pièce atterrit la tête, à condition que vous soyez le clone réveillé. Ceci est (la réponse Thirder).Pr [ h | t ( i ) ∪ h ( i ) ] = une /$\Pr[h] = 1/2$$\Pr[h|t(i) \cup h(i)] = 1/3$

Dans la situation dans laquelle SB (ou plutôt l'un des ensembles de machines pensantes de Jaynes préparées de manière identique) se trouve, cette analyse - que beaucoup d'autres ont effectuée (mais je pense de façon moins convaincante, car ils n'ont pas éliminé si clairement les distractions philosophiques dans les descriptions expérimentales) - soutient la réponse de Thirder.

La réponse de Halfer est correcte, mais sans intérêt, car elle n’est pas pertinente pour la situation dans laquelle se trouve SB. Cela résout le paradoxe.

Cette solution est développée dans le contexte d’un seul dispositif expérimental bien défini. Clarifier l'expérience clarifie la question. Une question claire mène à une réponse claire.

commentaires

Je suppose qu’après Elga (2000), vous pouvez légitimement qualifier notre réponse conditionnelle de "compter votre propre emplacement temporel comme étant pertinente pour la vérité de h", mais cette caractérisation n’ajoute aucune idée du problème: elle ne fait que les faits mathématiques en évidence. Pour moi, cela ne semble être qu’une manière obscure d’affirmer que l’interprétation "clonée" de la question de probabilité est la bonne.

Cette analyse suggère que le problème philosophique sous-jacent est celui de l' identité : qu'advient-il des clones qui ne sont pas réveillés? Quelles relations cognitives et noétiques existent entre les clones? - mais cette discussion n’est pas une question d’analyse statistique; il appartient à un forum différent .

Merci pour ce post brillant (+1) et solution (+1). Ce paradoxe me donne déjà mal à la tête.

Je viens de penser à la situation suivante qui ne nécessite pas de fées, de miracles ni de potions magiques. Lancez une pièce équitable le lundi midi. Upon 'Tails', envoyez un courrier à Alice et à Bob (de manière à ce qu'ils ne sachent pas que l'autre a reçu un courrier de votre part et qu'ils ne peuvent pas communiquer). Sur "Heads", envoyez un mail à l'un d'eux au hasard (avec une probabilité de ).$1/2$

Quand Alice reçoit un courrier, quelle est la probabilité que la pièce tombe sur "Heads"? La probabilité qu'elle reçoive une lettre est de et la probabilité que la pièce se soit posée sur "Têtes" est de .1 /$1/2 \times 1/2 + 1/2 = 3/4$$1/3$

Ici, il n’ya pas de paradoxe, car Alice ne reçoit pas de lettre avec une probabilité de , auquel cas elle sait que la pièce a atterri sur "Heads". Le fait que nous ne lui demandions pas d'opinion dans ce cas rend cette probabilité égale à 0 .$1/4$

Alors, quelle est la difference? Pourquoi Alice gagnerait-elle des informations en recevant un courrier, et SB n'apprendrait-il rien qui soit réveillé?

Passant à une situation plus miraculeuse, nous avons mis 2 SB différents en veille. Si la pièce tombe sur "Tails", nous réveillons les deux. Si elle tombe sur "Têtes", nous réveillons l'une d'entre elles au hasard. Ici encore, chacun des BS devrait dire que la probabilité que la pièce tombe sur 'Heads' est de et là encore, il n'y a pas de paradoxe, car il y a chance que ce SB ne soit pas réveillé.une /$1/3$$1/4$

Mais cette situation est très proche du paradoxe initial car effacer la mémoire (ou le clonage) équivaut à avoir deux SB différents. Donc, je suis avec Douglas Zare ici (+1). SB a appris quelque chose en se faisant réveiller. Le fait qu'elle ne puisse pas exprimer son opinion mardi alors que la pièce est «Tête haute» parce qu'elle est en train de dormir n'efface pas les informations dont elle dispose en étant réveillé.

À mon avis, le paradoxe réside dans " elle n'a absolument rien appris qu'elle ne savait pas dimanche soir ", ce qui est dit sans justification. Nous avons cette impression car les situations où elle est réveillée sont identiques, mais c'est comme si Alice recevait un courrier: c'est le fait qu'on lui demande son avis qui lui donne des informations.

MAJOR EDIT : Après y avoir longuement réfléchi, je change d'avis: La Belle au bois dormant n'a rien appris et l'exemple que je donne ci-dessus n'est pas un bon analogue de sa situation.

Mais voici un problème équivalent qui n’est pas paradoxal. Je pourrais jouer au jeu suivant avec Alice et Bob: Je jette une pièce secrètement et leur parie indépendamment 1 $ qu'ils ne peuvent pas la deviner. Mais si la pièce a atterri sur 'Tails', le pari d'Alice ou de Bob est annulé (l'argent ne change pas de main). Étant donné qu'ils connaissent les règles, que doivent-ils parier?

'Heads' évidemment. Si la pièce tombe sur les "têtes", ils gagnent 1 $ , sinon ils perdent en moyenne 0,5 $ . Cela signifie-t-il qu'ils croient que la pièce a deux chances sur trois de tomber sur des "têtes"? Bien sûr que non. Le protocole est simplement tel qu’ils ne gagnent pas le même montant d’argent pour chaque réponse.

Je crois que Sleeping Beauty est dans la même situation qu'Alice ou Bob. Les événements ne lui donnent aucune information sur le tirage au sort , mais si on lui demande de parier, ses chances ne sont pas de 1: 1 en raison d'asymétries dans le gain. Je crois que c’est ce que @whuber entend par

La réponse de Halfer est correcte, mais sans intérêt, car elle n’est pas pertinente pour la situation dans laquelle se trouve SB. Cela résout le paradoxe.

"Chaque fois que SB se réveille, elle n'a absolument rien appris qu'elle ne savait pas dimanche soir." C’est faux, c’est aussi faux que de dire "Soit je gagne à la loterie, soit je ne le fais pas, alors la probabilité est de ". Elle a appris qu'elle s'est réveillée. C'est une information. Maintenant, elle devrait croire que chaque réveil possible est également probable, pas chaque coup de pioche.$50\%$

Si vous êtes un médecin et qu'un patient entre dans votre bureau, vous avez appris que le patient est entré dans un bureau de médecin, ce qui devrait changer votre évaluation par rapport à la précédente. Si tout le monde va chez le médecin, mais que la moitié malade de la population va fois plus souvent que la moitié en bonne santé, alors quand le patient entre en contact, vous savez qu'il est probablement malade.$100$

Voici une autre légère variation. Supposons que quelle que soit l'issue du tirage au sort, la Belle au bois dormant sera réveillée deux fois. Cependant, s'il s'agit de queues, elle sera bien réveillée deux fois. Si c'est le cas, elle se réveillera une fois et se verra jeter un seau de glace une fois. Si elle se réveille dans un tas de glace, elle a des informations selon lesquelles la pièce est apparue. Si elle se réveille bien, elle a des informations que la pièce n'a probablement pas été soulevée. Elle ne peut pas avoir de test non dégénéré dont le résultat positif (la glace) indique qu'elle est plus susceptible à la tête sans le résultat négatif (agréable) indiquant que la tête est moins probable.

Le paradoxe réside dans le changement de perspective entre une expérience unique et son point limite. Si le nombre d'expériences est pris en compte, vous pouvez le comprendre encore plus précisément que le "soit / ou" de halvers et de tiers:

Expérience unique: Halvers a raison

S'il y a une seule expérience, il y a trois résultats et il vous suffit de calculer les probabilités du point de vue de l'éveillé:

1. Les têtes ont été lancées: 50%
2. La queue a été lancée et c'est mon premier réveil: 25%
3. La queue a été lancée et c'est mon deuxième réveil: 25%

Donc, dans une seule expérience, à n'importe quel événement de réveil, vous devriez supposer à moitié que vous êtes dans un état où les têtes ont été jetées

Deux expériences: 42% ont raison

Maintenant, essayez deux expériences:

1. Les têtes ont été lancées deux fois: 25% (pour les deux réveils combinés)
2. La queue a été lancée deux fois: 25% (pour les quatre réveils combinés)
3. Heads Tails et voici mon premier réveil: 25% / 3
4. Heads Tails et voici mon deuxième ou troisième réveil: 25% * 2/3
5. Queues puis têtes et ceci mon 1er ou 2e réveil: 25% * 2/3
6. Les queues puis les têtes et voici mon troisième réveil: 25% / 3.

Ainsi, ici, {1, 3, 6} sont vos états Heads, avec une probabilité combinée de (25 + 25/3 + 25/3)%, 41,66%, ce qui est inférieur à 50%. Si deux expériences sont exécutées, quel que soit l'événement de réveil, vous devez supposer que 41,66% de chance que vous soyez dans un état où Heads a été lancé

Expériences infinies: les tiers ont raison

Je ne vais pas faire le calcul ici, mais si vous regardez les options de deux expériences, vous pouvez voir les numéros 1 et 2 le conduire vers les moitiés, et le reste vers les tiers. À mesure que le nombre d'expériences augmente, les options conduisant aux moitiés (toutes les têtes / toutes les queues) diminuent en probabilité jusqu'à zéro, laissant les options des «tiers» à la place. Si des expériences infinies sont exécutées, à n'importe quel événement de réveil, vous devez supposer qu'un tiers des chances que vous vous trouviez dans un état où la tête a été projetée

Préemptant des réponses:

Mais le jeu?

Oui, dans le cas d’une expérience unique, vous devriez quand même "jouer" aux tiers. Ce n'est pas une incohérence; c'est simplement parce que vous pouvez placer le même pari plusieurs fois pour un résultat donné et que vous le savez à l'avance. (Ou si vous ne le faites pas, la mafia le fait).

Ok, que diriez-vous de deux expériences simples? Beaucoup de divergence?

Non, car le fait de savoir si vous participez à la première ou à la deuxième expérience ajoute à vos connaissances. Examinons les options "deux expériences" et filtrons-les en sachant que vous en êtes à la première expérience.

1. Applicable pour le premier réveil (1/2)
2. Applicable pour les deux premiers réveils (2/4)
3. En vigueur
4. Jamais applicable
5. Applicable pour le premier réveil (1/2)
6. N'est pas applicable

Bien, prenez les têtes (1,3,6) multipliez-les, les chances par applicabilité: 25/2 + 25/3 + 0 = 125/6.

Maintenant, prenez les queues (2,4,5) et faites de même: 25 * 4/2 + 0 + 25 * (2/3) / 2 = 125/6.

Viola, ils sont pareils. Les informations supplémentaires sur l' expérience dans laquelle vous vous trouvez permettent en fait de modifier les chances de ce que vous savez.

Mais les clones !!

Autrement dit, contrairement au postulat de la réponse de l'OP, que le clonage crée une expérience équivalente: le clonage ainsi que la sélection aléatoire fait changer la connaissance de la expérimentée, de la même manière « multiples expériences » change l'expérience. S'il y a deux clones, vous pouvez voir que les probabilités de chaque clone correspondent aux probabilités de deux expériences . Des clones infinis convergent vers des tiers. Mais ce n'est pas la même expérience, et ce n'est pas la même connaissance, comme une seule expérience avec un seul sujet non aléatoire.

Vous dites "un aléatoire parmi l'infini" et je dis une dépendance à l'Axiom of Choice

Je ne sais pas, ma théorie des ensembles n'est pas terrible. Mais étant donné pour N inférieur à l'infini, vous pouvez établir une séquence qui converge de la moitié au tiers, l'infini cas égal à un tiers sera soit vrai, soit indécidable au pire, quels que soient les axiomes que vous invoquez.

Varions le problème.

Si la pièce monte Heads, SB n'est jamais réveillé.

Si Tails, SB est réveillé une fois.

Maintenant, les camps sont Halfers et Zeroers. Et clairement les Zeroers sont corrects.

Ou: têtes -> réveillé une fois; Les queues -> se sont réveillées un million de fois. De toute évidence, étant donné qu'elle est réveillée, c'est probablement la queue.

(PS Au sujet des "nouvelles informations" - des informations ont peut-être été détruites. Une autre question est donc la suivante: a-t-elle perdu des informations qu'elle avait auparavant?)

"Chaque fois que SB se réveille, elle n'a absolument rien appris qu'elle ne savait pas dimanche soir."

Ce n'est pas correct, c'est l'erreur dans l'argument halfer. Une chose qui rend difficile de discuter, cependant, est que l'argument de Halfer qui est basé sur cette déclaration est rarement exprimé avec plus de rigueur que ce que j'ai cité.

Il y a trois problèmes. Premièrement, l'argument ne définit pas ce que "nouvelle information" signifie. Cela semble vouloir dire "Un événement dont la probabilité à l'origine était autre que zéro ne peut pas s'être produit sur la base des preuves." Deuxièmement, il n’énumère jamais ce que l’on sait le dimanche pour voir si cela correspond à cette définition; et il peut, si vous le regardez correctement. Enfin, aucun théorème ne dit "si vous ne possédez aucune nouvelle information de ce type, vous ne pouvez pas mettre à jour". Si vous en avez une, Bayes Theorem produira une mise à jour. Mais c'est une erreur de conclure que si vous n'avez pas cette nouvelle information, vous ne pouvez pas mettre à jour. Etre une erreur ne signifie pas que ce n'est pas vrai, cela signifie que vous ne pouvez pas tirer cette conclusion en vous basant uniquement sur ces preuves.

Dimanche soir, dites à SB de lancer un dé imaginaire à six faces. Comme c'est imaginaire, elle ne peut pas regarder le résultat. Mais le but est de voir si cela correspond au jour où elle est réveillée: un chiffre pair signifie que cela correspond à lundi et un nombre impair à mardi. Mais cela ne peut pas correspondre aux deux, ce qui distingue effectivement les deux jours.

SB peut maintenant (c'est-à-dire dimanche) calculer la probabilité pour les huit combinaisons possibles de {Têtes / Queues, Lundi / Mardi, Match / Pas de match}. Chacun sera 1/8. Mais quand elle est réveillée, elle sait que {Heads, Tuesday, Match} et {Heads, mardi, No Match} ne se sont pas produits. Cela constitue une "nouvelle information" sous la forme, selon l'argument de halfers, qui n'existe pas, et cela permet à SB d'actualiser la probabilité que la pièce du chercheur tombe sur la tête. Il est 1/3 si sa pièce imaginaire correspond ou non au jour actuel. Comme c'est la même chose dans les deux cas, il est 1/3 si elle sait ou non s'il y a une correspondance; et en fait, qu'elle jette ou non, ou imagine de rouler, le dé.

Ce dé supplémentaire semble être une tâche ardue pour obtenir un résultat. En fait, ce n'est pas nécessaire, mais vous avez besoin d'une définition différente de «nouvelle information» pour voir pourquoi. La mise à jour peut survenir à tout moment si les événements significatifs (c'est-à-dire indépendants et à probabilité non nulle) dans l'espace d'échantillonnage précédent diffèrent des événements significatifs dans l'espace d'échantillons postérieur. Ainsi, le dénominateur du ratio dans le théorème de Bayes n’est pas 1. Bien que cela se produise lorsque la preuve donne à certains événements une probabilité nulle, il peut également se produire lorsque la preuve change si les événements sont indépendants. C'est une interprétation très peu orthodoxe, mais cela fonctionne parce que la beauté a plus d'une occasion pour observer un résultat. Et le but de mon dé imaginaire, qui distinguait les jours, était de transformer le système en un système dont la probabilité totale était de 1.

Dimanche, SB sait que P (Awake, Monday, Heads) = P (Awake, Monday, Tails) = P (Awake, Tuesday, Tails) = 1/2. Celles-ci totalisent plus de la moitié car les événements ne sont pas indépendants en fonction des informations fournies par SB le dimanche. Mais ils sont indépendants quand elle est réveillée. La réponse, selon le théorème de Bayes, est (1/2) / (1/2 + 1/2 + 1/2) = 1/3. Il n’ya rien de mal avec un dénominateur supérieur à 1; mais l'argument de la pièce imaginaire était conçu pour accomplir les mêmes choses sans un tel dénominateur.

Je viens de re-trébucher à travers cela. J'ai peaufiné certaines de mes pensées depuis ce dernier message et je pensais pouvoir y trouver un public réceptif.

Tout d’abord, sur la façon de traiter une telle controverse: Dites que les arguments A et B existent. Chacun a une prémisse, une séquence de déductions et un résultat; et les résultats diffèrent.

Le meilleur moyen de prouver qu'un argument est incorrect est d'invalider l'une de ses déductions. Si cela était possible ici, il n'y aurait pas de controverse. Une autre consiste à réfuter la prémisse, mais vous ne pouvez pas le faire directement. Vous pouvez expliquer pourquoi vous n'en croyez pas un, mais cela ne résoudra rien si vous ne pouvez pas convaincre les autres de ne plus y croire.

Pour prouver indirectement une prémisse erronée, vous devez en déduire une autre séquence de déductions qui mène à une absurdité ou à une contradiction de la prémisse. La méthode la plus fallacieuse consiste à faire valoir que le résultat opposé viole votre principe. Cela signifie que l’on se trompe, mais cela n’indique pas lequel.

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Le principe de halfer est "pas de nouvelle information". Leur séquence de déductions est vide - aucune n'est nécessaire. Pr (têtes | éveillé) = Pr (têtes) = 1/2.

Les tiers (en particulier Elga) ont deux prémisses: Pr (H1 | Awake et Monday) = Pr (T1 | Awake et Monday) et Pr (T1 | Awake and Tails) = Pr (T2 | Awake and Tails). Une séquence incontestable de déductions conduit alors à Pr (Heads | Awake) = 1/3.

Notez que les tiers ne supposent jamais qu'il y a de nouvelles informations - leurs locaux sont basés sur les informations existantes - "nouvelles" ou non, lorsque SB est réveillé. Et je n’ai jamais vu qui que ce soit se disputer en faveur de la prémisse d’un preneur, à l’exception du fait qu’elle viole le résultat de halfer. Les halfers n'ont donc fourni aucun des arguments valables que j'ai énumérés. Juste le fallacieux.

Mais il existe d'autres déductions possibles à partir de "pas de nouvelle information", avec une séquence de déductions commençant par Pr (Heads | Awake) = 1/2. La première est que Pr (Têtes | Réveil et lundi) = 2/3 et Pr (Queues | Éveillé et lundi) = 1/3. Cela contredit la prémisse du président, mais comme je l'ai dit, cela n'aide pas la cause de halfer, car il se peut que ce soit leur prémisse qui soit fausse. Ironiquement, ce résultat prouve quelque chose: le principe de halfer se contredit. Dimanche, SB a indiqué Pr (Heads | Monday) = Pr (Tails | Monday). L'ajout de l'information "Awake" lui a donc permis de mettre à jour ces probabilités. C'est une nouvelle information.

J'ai donc prouvé que la prémisse de Halfer ne pouvait pas être juste. Cela ne veut pas dire que les tiers ont raison, mais cela veut dire que les autres n'ont pas fourni de preuves contraires.

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Je trouve un autre argument plus convaincant. Ce n'est pas tout à fait original, mais je ne suis pas sûr que le point de vue approprié ait été suffisamment souligné. Considérons une variante de l'expérience: SB est toujours réveillé les deux jours; c'est généralement dans une pièce peinte en bleu, mais mardi après Heads, c'est dans une pièce peinte en rouge. Que devrait-elle dire de la probabilité de Heads si elle se trouve éveillée dans une pièce bleue?

Je ne pense pas que quiconque puisse sérieusement soutenir que c'est tout sauf un tiers. Il y a trois situations qui pourraient correspondre à la sienne actuelle, toutes les chances sont égales, et une seule inclut les chefs.

Le point saillant est qu'il n'y a pas de différence entre cette version et la version originale. Ce qu'elle "sait" - sa "nouvelle information" - c'est que ce n'est pas H2. Peu importe comment, ou SI si elle le pouvait, elle le savoir pourrait être H2. Sa capacité à observer des situations qu'elle sait ne pas appliquer n'est pas pertinente si elle sait qu'elles ne s'appliquent pas.

Je ne peux pas croire la prémisse de Halfer. C'est basé sur un fait - qu'elle ne peut pas observer H2 - cela n'a pas d'importance, car elle peut et fait observer que ce n'est pas H2.

J'espère donc avoir fourni un argument convaincant expliquant pourquoi la prémisse de Halfer est invalide. En cours de route, je sais que j'ai démontré que le résultat du test de qualification devait être correct.

Un tiers des réveils possibles sont des réveils de têtes, et les deux tiers des réveils possibles sont des réveils de queue. Cependant, la moitié des princesses (ou autre) sont des princesses Heads et une moitié des princesses Tails. Les princesses Tails, individuellement et ensemble, ont deux fois plus de réveils que les princesses Head.

Du point de vue de la princesse, au réveil, il y a trois possibilités. Elle est soit une princesse Heads se réveillant pour la première (et unique) fois ( ), une princesse Tails se réveillant pour la première fois ( ), ou une princesse Tails se réveillant une seconde fois ( ). Il ne semble y avoir aucune raison de supposer que ces trois résultats sont également probables. Plutôt , et .$H1$$T1$$T2$$P[H1]=0.5$$P[T1]=0.25$$P[T2]=0.25$

Je n'ai pas lu le raisonnement de Vineberg, mais je pense que je peux voir comment elle parvient à un pari juste de . Supposons que chaque fois qu'une princesse se réveille, elle fait un pari de qu'elle est une princesse Heads, recevant $ 1 si elle est en effet une princesse de chefs, et $ 0 sinon. Ensuite, une princesse Heads recevra et une princesse Tails recevra chaque fois qu'elle joue. Étant donné que les princesses Tails doivent jouer deux fois et que la moitié des princesses sont des princesses Heads, le rendement attendu est de et le juste prix de .$\$1/3$$\$x$$\$(1-x)$$\$(-x)$$\$(1-3x)/2$$\$1/3$

Normalement, cela constituerait une preuve concluante que la probabilité est de , mais le raisonnement habituel n’est pas valable dans ce cas: les princesses qui sont destinées à perdre le pari sont obligées de jouer le jeu deux fois, alors que celles qui sont destinées à gagner ne joue qu'une fois! Ce déséquilibre dissocie la relation habituelle entre probabilités et paris équitables.$1/3$

(D'autre part, un technicien affecté au processus de veille n'aurait qu'une chance sur trois d'être affecté à une princesse Heads.)

Quand vous serez réveillé, dans quelle mesure devriez- vous croire que le résultat du tirage au sort a été les Têtes?

Qu'entendez-vous par " devrait "? Quelles sont les conséquences de mes croyances? Dans une telle expérience, je ne croirais rien. Cette question est étiquetée comme decision-theory, mais, de la manière dont cette expérience est conçue, je n’ai aucune raison de prendre une décision.

Nous pouvons modifier l'expérience de différentes manières, de sorte que je me sens enclin à donner une réponse. Par exemple, je pourrais deviner si je me suis réveillé à cause de "Heads" ou de "Tails", et je gagnerais un bonbon pour chaque réponse correcte que je donnerais. Dans ce cas, évidemment, je choisirais "Tails", parce que, dans plusieurs expériences, je gagnerais un bonbon par expérience en moyenne: dans 50% des cas, le tirage au sort serait "Tails", sois réveillé deux fois et je gagnerais un bonbon les deux fois. Dans les autres 50% ("têtes"), je ne gagnais rien. Si je répondais "Têtes", je gagnerais seulement un demi-bonbon par expérience, car je n'aurais qu'une seule chance de répondre et je serais dans 50% des cas. Si moi-même je jetais une pièce équitable pour la réponse, je$3/4$

Une autre possibilité est de gagner un bonbon pour chaque expérience dans laquelle toutes mes réponses étaient correctes. Dans ce cas, peu importe la réponse systématique que je donne, car en moyenne, je gagnerai un demi-bonbon par expérience: si je décidais de répondre à "Heads" tout le temps, je serais dans le vrai 50% des cas, et il en va de même pour "Tails". Seulement si je lance moi-même une pièce, je gagnerais d'un bonbon: dans 50% des cas, les chercheurs lanceraient des "têtes", et dans 50% des cas, je lancerais aussi des "têtes", gagnant ainsi moi d'un bonbon. Dans l'autre moitié des cas, lorsque les recherches ont jeté "Tails", je devais lancer "Tails" deux fois,$3/8$$1/4$$1/4$des cas, de sorte que cela ne me rapporterait que d'un bonbon.$1/8$

Comment résoudre ce paradoxe d'une manière statistiquement rigoureuse? Est-ce seulement possible?

Définir "manière statistiquement rigoureuse ". La question d'une croyance n'a aucune pertinence pratique. Seules les actions comptent.

La question est ambiguë et il ne semble donc exister qu'un paradoxe. La question se pose comme suit:

Lorsque vous êtes réveillé, dans quelle mesure devriez-vous croire que le tirage au sort a eu pour résultat la tête?

Qui se confond avec cette question:

Quand vous êtes réveillé, dans quelle mesure devriez-vous croire que Heads était la raison de votre réveil ?

Dans la première question, la probabilité est de 1/2. Dans la deuxième question, 1/3.

Le problème est que la première question est posée, mais la deuxième question est implicite dans le contexte de l'expérience. Ceux qui acceptent inconsciemment l'implication disent que c'est 1/3. Ceux qui lisent la question disent littéralement que c'est 1/2.

Ceux qui sont confus ne savent pas quelle question ils posent!

J'aime beaucoup cet exemple, mais je dirais qu'il y a une chose à faire qui soit confondue avec quelques distractions gênantes.

Pour éviter les distractions gênantes, on devrait pouvoir discerner une représentation schématique abstraite du problème clairement au-delà de tout doute raisonnable (en tant que représentation adéquate) et pouvant être manipulée de manière vérifiable (à nouveau manipulée par des personnes qualifiées) pour démontrer les revendications. Comme exemple simple, imaginons un rectangle (mathématique abstrait) et l’affirmation qu’il peut être transformé en deux triangles.

Dessinez un rectangle à main libre en tant que représentation d’un rectangle mathématique (dans votre dessin, les quatre angles n’ajouteront pas exactement 180 degrés et les lignes adjacentes ne seront ni exactement égales ni droites, mais il n’y aura aucun doute réel que cela représente un vrai rectangle. ) Maintenant, manipulez-le en traçant une ligne d'un coin à l'autre, ce que tout le monde peut faire et vous obtenez une représentation de deux triangles dont personne ne pourrait raisonnablement douter. N'importe quelle remise en question peut sembler absurde, c'est juste.

Ce que je veux dire, c’est que si vous obtenez une représentation au-delà de tout doute raisonnable du problème de la SB comme distribution de probabilité conjointe et que vous pouvez conditionner un événement qui se produit dans l’expérience de cette représentation, vous déclarez alors qu’il ya quelque chose à apprendre. par cet événement peut être démontré par une manipulation vérifiable et n'exige aucune discussion (philosophique) ou de questionnement.

Maintenant, je ferais mieux de présenter ma tentative et les lecteurs devront déterminer si j'ai réussi. J'utiliserai un arbre de probabilité pour représenter les probabilités conjointes pour le sommeil d'une nuit dans les expériences (DSIE), le résultat de la pièce de monnaie lundi (CFOM) et le réveil donné, une personne dormant dans l'expérience (WGSIE). Je vais le dessiner (en fait juste l'écrire ici) en termes de p (DSIE) * p (CFOM | DSIE) * p (WGSIE | DSIE, CFOM).

Je voudrais appeler DSIE et CFOM possibles inconnus et WGSIE le possible connu, alors p (DSIE, CFOM) est un préalable et p (WGSIE | DSIE, CFOM) est un modèle de données ou de vraisemblance et le théorème de Bayes s'applique, sans cet étiquetage, juste une probabilité conditionnelle qui est logiquement la même chose.

Maintenant nous savons p (DSIE = Mon) + p (DSIE = Mardi) = 1 et p (DSIE = Mardi) = ½ p (DSIE = Mon)

donc p (DSIE = Mon) = 2/3 et p (DSIE = Mardi) = 1/3.

Maintenant, P (CFOM = H | DSIE = Mon) = 1/2, P (CFOM = T | DSIE = Mon) = 1/2, P (CFOM = T | DSIE = Mardi) = 1.

P (WGSIE | DSIE =., CFOM =.) Est toujours égal à un.

Prior égal

P (DSIE = Lun, CFOM = H) = 2/3 * ½ = 1/3

P (DSIE = Lun, CFOM = T) = 2/3 * ½ = 1/3

P (DSIE = mardi, CFOM = T) = 1/3 * 1 = 1/3

Donc, avant marginal pour CFOM = 1/3 H et 2/3 T, et le postérieur qui vous a été réveillé pendant que vous dormiez dans l'expérience - sera le même (car aucun apprentissage ne se produit) - vous avez donc auparavant 2/3 T.

OK - où est-ce que je me suis trompé? Dois-je revoir ma théorie des probabilités?

Une explication simple à cela serait qu’il ya 3 façons dont la belle endormie peut se réveiller, dont deux proviennent d’un lancer de queue. Donc, la probabilité doit être de 1/3 pour une tête à chaque réveil. Je l' ai indiqué dans un blog de poste

Le principal argument contre le point de vue de "halfer" est le suivant: Dans un sens bayésien, SB est toujours à la recherche des nouvelles informations dont elle dispose. En réalité, au moment où elle a décidé de prendre part à l'expérience, elle dispose d'informations supplémentaires qui, à son réveil, pourraient être présentes. Ou en d'autres termes, le manque d'informations (effacement de la mémoire) est ce qui fournit la preuve ici, de manière subtile cependant.

Comme beaucoup de questions, cela dépend du sens exact de la question:

Lorsque vous êtes réveillé, dans quelle mesure devriez-vous croire que le tirage au sort a eu pour résultat la tête?

Si vous interprétez cela comme "quelles sont les chances qu'une pièce lancée soit une tête", la réponse est évidemment "la moitié des chances".

Mais ce que vous demandez n’est pas (selon mon interprétation) cela, mais "quelle est la probabilité que le réveil actuel ait été causé par un Heads?". Dans ce cas, bien évidemment, seulement un tiers des réveils sont causés par une tête. La réponse la plus probable est "Tails".

C'est une question très intéressante. Je vais donner ma réponse comme si je devais être une belle endormie. Je pense que l'un des points clés à comprendre est que nous faisons entièrement confiance à l'expérimentateur.

1) Dimanche soir, si vous me demandez quelle est la probabilité que la pièce soit en tête, je vous dirai .$\frac{1}{2}$

2) Chaque fois que vous me réveillez et que vous me le demandez, je vous le dirai .$\frac{1}{3}$

3) Lorsque vous me direz que c'est la dernière fois que vous vous éveillez, je vais tout de suite vous dire que la probabilité est .$\frac{1}{2}$

Clairement (1) découle du fait que la pièce est juste. (2) découle du fait que de votre point de vue, lorsque vous êtes réveillé, vous vous trouvez dans l'une des 3 situations les plus probables. Chacun d'entre eux peut se produire avec la probabilité .$\frac{1}{2}$

Puis (3) suit de la même manière, sauf que dès que vous êtes informé que c'est la dernière fois que vous vous éveillez, le nombre de situations dans lesquelles vous pouvez être effondré est égal à 2 (comme maintenant, et c'est la première fois que vous êtes réveillé est impossible).

Je vais résoudre ce problème pour le cas générique où SB est réveillé ' ' fois après 'Heads' et ' ' fois après 'Tails' avec .$m$$n$$m≤n$

Plus précisément, si la pièce est "Têtes", elle sera réveillée le ...

jour 1
jour 2 jour
$\cdots$
$\cdots$
$m$

... et si la pièce est "Tails", elle sera réveillée ...

jour 1
jour 2 jour
$\cdots$
$\cdots$
$n$

$m≤n$

Alors pour cette question spécifique, sera et . Je ne vais pas faire d’hypothèses, je n’utiliserai que l’information donnée selon laquelle la pièce est juste, donc avant de se réveiller, c’est Dès que SB est réveillé, elle ne sait pas quel jour on est ni si elle était réveillée auparavant. Elle sait seulement qu'une pièce équitable a été lancée avec les résultats possibles «Heads» et «Tails». Elle sait également que le réveil a lieu le jour 1, le jour 2, les ou le jour . Pour le résultat possible 'Heads', il y a ' ' résultats possibles que je , , , .$m=1$$n=2$

$$P(Heads)=P(Tails)=1/2.$$ $\ldots$$n$$m$$D_1$$D_2$$\ldots$$D_m$

$D_1$ : Ce réveil se passe sur « jour 1 » : Ce réveil se passe sur « jour 2 » : Ce réveil se passe sur « jour 3 » : Ce réveil se passe sur « jour »
$D_2$
$D_3$
$\cdots$
$\cdots$
$D_m$$m$

Pour le résultat possible "Tails", il y a " " résultats possibles, y compris les " " résultats indiqués ci-dessus.$n$$m$

$D_1$ : Ce réveil se passe sur « jour 1 » : Ce réveil se passe sur « jour 2 » : Ce réveil se passe sur « jour 3 » : Ce réveil se passe sur « jour »
$D_2$
$D_3$
$\cdots$
$\cdots$
$D_n$$n$

Donc, il y a résultats possibles. Maintenant, étant donné que la pièce a atterri 'Têtes', les événements , , , sont également probables. Donc ... De plus, étant donné que la pièce a atterri 'Tails', les événements , , , sont également probables. Donc ... Maintenant, pour tout événement possible où est un entier et$m+n$$D_1$$D_2$$\ldots$$D_m$

$$P(D_1|H)=P(D_2|H)=\ldots=P(D_m|H) = \frac{1}{m}$$ $D_1$$D_2$$\ldots$$D_n$ $$P(D_1|T)=P(D_2|T)=\ldots=P(D_n|T) = \frac{1}{n}$$ $D_i$$i$$1≤i≤m$ $$P(D_i\cap H)=P(H)\times P(D_i|H)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{m} = \frac {1}{2m}$$ $$P(D_i∩T)=P(T)\times P(D_i|T)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{n} = \frac {1}{2n}$$ pour , c'est évidemment ... $m<i≤n$ $$P(D_i∩H)=P(H)\times P(D_i|H)=\frac{1}{2}\times0=0$$ $$P(D_i∩T)=P(T)\times P(D_i|T)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{n} = \frac {1}{2n}$$

Calculons maintenant les probabilités des événements possibles , , ,$D_1$$D_2$$\ldots$$D_n$

pour pour$1≤i≤m$

$$P(D_i)=P(D_i∩H)+P(D_i∩T) = \frac {1}{2m}+\frac {1}{2n}$$ $m<i≤n$ $$P(D_i)=P(D_i∩H)+P(D_i∩T)=0+\frac {1}{2n} = \frac {1}{2n}$$

Nous pouvons maintenant calculer la probabilité que 'Heads' soit donné puisque SB est réveillé. Comme indiqué ci-dessus, les événements possibles au réveil sont , , , . Donc la probabilité est ...$D_1$$D_2$$\ldots$$D_n$

$$\begin{align}P(H|awake)&=P(H|(D_1∪D_2∪...∪D_n))\\ &\\ &=\frac {P(H∩(D_1∪D_2∪\ldots∪D_n))}{P(D_1∪D_2∪\ldots∪D_n)}\\ &\\ &=\frac {P((H∩D_1)∪(H∩D_2)∪\ldots∪(H∩D_n))}{P(D_1∪D_2∪\ldots∪D_n)}\\ &\\ &=\frac{P(H∩D_1)+P(H∩D_2)+\ldots+P(H∩D_n)}{P(D_1)+P(D_2)+\ldots+P(D_n)}\\ &\\ &=\frac{P(H∩D_1)+P(H∩D_2)+\ldots+P(H∩D_m)+\ldots+P(H∩D_n)}{P(D_1)+P(D_2)+\ldots+P(D_m)+\ldots+P(D_n)}\\ &\\ &=\frac{\frac {1}{2m}\times m + 0\times(n-m)}{(\frac {1}{2m}+\frac {1}{2n})\times m + \frac {1}{2n}\times(n-m)}\\ &\\ &=\frac{\frac {1}{2}+0}{\frac {1}{2}+\frac{m}{2n}+\frac {1}{2}-\frac{m}{2n}}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}+\frac {1}{2}}=\frac{\frac{1}{2}}{1}=\frac{1}{2} \end{align}$$

Nous avons déjà la réponse, mais calculons également la probabilité de "têtes" ou de "queues" étant donné le réveil qui se produit un jour donné

pour$1≤i≤m$

$$P(H|D_i)=\frac{P(H∩D_i)}{P(D_i)}=\frac{\frac {1}{2m}}{\frac {1}{2m}+\frac {1}{2n}}=\frac{n}{m+n}$$ $$P(T|D_i)=\frac{P(T∩D_i)}{P(D_i)}=\frac{\frac {1}{2n}}{\frac {1}{2m}+\frac {1}{2n}}=\frac{m}{m+n}$$

pour$m<i≤n$

$$P(H|D_i)=\frac{P(H∩D_i)}{P(D_i)}=\frac{0}{P(D_i)}=0$$ $$P(T|D_i)=\frac{P(T∩D_i)}{P(D_i)}=\frac{\frac{1}{2n}}{\frac{1}{2n}}=1$$

Je suis conscient que ce n'est pas une réponse pour ceux qui croient la réponse "1/3". Ceci est juste une simple utilisation de probabilités conditionnelles. Ainsi, je ne crois pas que ce problème soit ambigu et donc paradoxal. Il est cependant déroutant pour le lecteur de ne pas préciser quelles sont les expériences aléatoires et quels sont les événements possibles de ces expériences.

Comme la Belle au bois dormant ne se souvient plus du nombre de fois où elle s'est réveillée, nous ne cherchons pas la probabilité de têtes car elle ne s'est réveillée qu'une seule fois, mais la probabilité qu'elle ait été réveillée au moins une fois:

Nous avons donc: et non$P(Heads\mid x\geq1) = 1/2$ $P(Heads\mid x=1) = 1/3$

La réponse est donc de 50% (les demi-teintes ont raison) et il n’ya pas de paradoxe.

Les gens semblent faire cela beaucoup plus complexe qu’il ne l’est vraiment!

Non statistiquement

Dans tout son génie, la Belle au bois dormant peut réaliser cette expérience hypothétique dans son sommeil, qui façonnera ses croyances:

import numpy as np

# Take clones of our Sleeping Beauties.
# One type of clones is persistently heads guessing,
# the other persistently guesses tails.

# Keeping score for heads guessing Sleeping Beauty ...
guessed_heads_right = 0

# ... and also for the tails guessing Sleeping Beauty
guessed_tails_right = 0

# Coding the toss outcomes
HEADS = 0
TAILS = 1


# Function to wake up heads guessing Sleeping Beauty
def heads_guesser_guesses_right(toss):
    return toss == HEADS


# Function to wake up tails guessing Sleeping Beauty
def tails_guesser_guesses_right(toss):
    return toss == TAILS


# Repeating the tossing and awakenings many times
for i in range(1000):

    # Toss fair coin, result is either HEADS or TAILS
    toss = np.random.randint(0, 2)

    # Waking SBs up first time and count successful guesses
    if heads_guesser_guesses_right(toss):
        guessed_heads_right += 1
    if tails_guesser_guesses_right(toss):
        guessed_tails_right += 1

    # If toss was TAILS, wake SBs up second time ...
    if toss == TAILS:

        # ... and counts successful guesses
        if heads_guesser_guesses_right(toss):
            guessed_heads_right += 1
        if tails_guesser_guesses_right(toss):
            guessed_tails_right += 1

# Print the raw statistics
print('Guessed HEADS right: {}'.format(guessed_heads_right))
print('Guessed TAILS right: {}'.format(guessed_tails_right))

Sortie:

Guessed HEADS right: 498
Guessed TAILS right: 1004

Ainsi, notre belle au bois dormant croira qu'il vaut mieux deviner ses queues.

Et statistiquement?

L'algorithme ci-dessus n'est pas a statistically rigorous wayà déterminer quoi deviner. Cependant, il est clair que, dans le cas de queues, elle doit deviner deux fois , donc deviner queues est deux fois plus probable. Cela découle de la procédure opérationnelle de l'expérience.

Probabilité fréquentiste

Frequentist Probability est un concept de statistique basé sur les théories de Fisher, Neyman et (Egon) Pearson.

Une notion de base dans Frequentist Probability est que les opérations expérimentales peuvent être répétées, au moins hypothétiquement, un nombre infini de fois. Chacune de ces opérations mène à un résultat .$n$$E_{n}$

La probabilité fréquentiste d'un résultat est définie comme suit:$E$$Pr(E)\equiv\texttt{lim}_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{E_{n}}{N}\right)$

C'est exactement ce que Sleeping Beauty a fait dans sa tête ci-dessus: si est le fait d'avoir raison en devinant HEADS, alors converge vers .$E$$Pr(E)$$\frac{1}{3}$

Et elle croit?

Alors, quand elle arrive enfin dans son raisonnement, elle a des motifs rigoureux sur le plan statistique pour fonder ses croyances. Mais la façon dont elle finira par les façonner dépend vraiment de son psychisme.

Je viens de penser à une nouvelle façon d’expliquer mon propos et à ce qui ne va pas avec la réponse 1/2. Exécutez deux versions de l'expérience en même temps, en utilisant le même lancer de pièce. Une version est juste comme l'original. Dans l’autre, trois (ou quatre, peu importe) sont nécessaires; chaque combinaison se voit attribuer une combinaison différente de têtes / queues et de lundi ou mardi (la combinaison têtes + mardi est omise si vous utilisez seulement trois volontaires). Marquez-les respectivement HM, HT, TM et TT (en omettant éventuellement HT).

Si une bénévole de la deuxième version est réveillée de cette façon, elle sait qu’elle était également susceptible d’avoir été étiquetée HM, TM ou TT. En d'autres termes, la probabilité pour qu'elle soit étiquetée HM, étant donné qu'elle est réveillée, est de 1/3. Puisque le jeton et le jour de la pièce correspondent à cette tâche, elle peut déduire trivialement que P (têtes | Éveillé) = 1/3.

Le volontaire dans la première version pourrait être réveillé plus d'une fois. Mais comme "aujourd'hui" n'est qu'un de ces deux jours possibles, lorsqu'elle est réveillée, elle dispose exactement des mêmes informations que la bénévole éveillée dans la deuxième version. Elle sait que sa situation actuelle peut correspondre à l'étiquette appliquée à l'un, et à un seul , des autres volontaires. C'est-à-dire qu'elle peut se dire "le volontaire étiqueté HM, ou HT, ou TT est également réveillé. Puisqu'ils sont également probables, il y a 1/3 de chance que ce soit HM et donc 1/3 de chance que la pièce ait atterri. queues. "

La raison pour laquelle les gens font une erreur est qu'ils confondent "est réveillé pendant l'expérience" avec "est réveillé maintenant". La réponse vient 1/2 de l'original SB se disant « soit HM est le seul autre bénévole éveillé NOW , ou TM et TT sont BOTH éveillés SOMETIME AU COURS DE L'EXPÉRIENCE . Étant donné que chaque situation est tout aussi probable, il y a une chance de 1/2 c'est HM et donc une chance sur deux que la pièce ait atterri la queue. " C'est une erreur parce qu'un seul autre volontaire est réveillé maintenant.

Plutôt que de donner une réponse statistiquement rigoureuse, je voudrais modifier légèrement la question de manière à convaincre les personnes dont l'intuition les conduit à être à moitié.

Certains chercheurs veulent vous endormir. Selon le tirage au sort d'une pièce de monnaie secrète, ils vous réveilleront soit une fois (têtes), soit neuf cent quatre vingt dix neuf fois (queues). Après chaque réveil, ils vous rendront dormir avec un médicament qui vous fera oublier ce réveil.

À votre réveil, quel degré de conviction devriez-vous avoir pour penser que le tirage au sort a eu pour résultat la tête?

Suivant la même logique qu'auparavant, il pourrait y avoir deux camps -

• Halfers - le tirage au sort était juste, et SB le sait, alors elle devrait croire qu'il y a une chance sur deux d'être face à face.
• Des milliers de personnes - si l'expérience était répétée plusieurs fois, le tirage au sort ne représenterait qu'une tête sur mille, alors elle devrait croire que les chances d'avoir une tête sont de une sur mille.

Je pense que la confusion de la question telle qu’elle était formulée à l’origine tient simplement au fait qu’il n’ya pas beaucoup de différence entre un demi et un tiers. Les gens pensent naturellement que les probabilités sont des concepts quelque peu flous (en particulier lorsque la probabilité est un degré de conviction plutôt que de fréquence) et qu'il est difficile de deviner la différence entre un degré de conviction d'un demi et un tiers.

Cependant, la différence entre un demi et un sur mille est beaucoup plus viscérale. Je prétends qu'il sera intuitivement évident pour plus de gens que la réponse à ce problème est une sur mille, plutôt que la moitié. Je serais intéressé de voir un "halfer" défendre leur argument en utilisant cette version du problème à la place.

Si la belle endormie devait dire la tête ou la queue - elle minimiserait sa fonction de perte attendue 0-1 (évaluée chaque jour) en choisissant des queues. Si, toutefois, la fonction de perte 0-1 était uniquement évaluée à chaque essai, alors la tête ou la queue seraient également bonnes.

Les tiers gagnent

Au lieu d’une pièce de monnaie, supposons que les dés soient équitables:

on friday, the sleeping beauty will sleep:
if the dice == 1 , they will awake her on saturday;
if the dice == 2 , they will awake her on saturday and sunday;
if the dice == 3 , they will awake her on saturday, sunday and monday;
if the dice == 4 , they will awake her on saturday, sunday, monday and tuesday;
if the dice == 5 , they will awake her on saturday, sunday, monday, tuesday and wednesday;
if the dice == 6 , they will awake her on saturday, sunday, monday, tuesday, wednesday and thursday;

Chaque fois qu'ils lui demandent «dans quelle mesure devriez-vous croire que le résultat du dé a été de 1?

Les halfers diront que la probabilité de dé = 1 est de 1/6 Les tiers diront que la probabilité de dé = 1 est de 1/21

Mais la simulation résout clairement le problème:

days <- c("saturday", "sunday", "monday", "tuesday", "wednesday", "thursday")

#she will answer the dice was 1 every time 
#the trick here is that this is not absolutely random because every day implies the days before it. 


number_of_correct_answer <- 0
number_of_days <- 0
for (i in 1:1000){
dice <- sample(1:6,1)
for (item in days[1:dice]){
        number_of_correct_answer <- number_of_correct_answer + (dice == 1)
        number_of_days <- number_of_days + 1
}
}
number_of_correct_answer/number_of_days
#equals 1/21
#but if we divided by 1000 , which is incorrect because every experiment has more than one day we will get 1/6
number_of_correct_answer/1000
#equals 1/6

Aussi, nous pouvons simuler le problème de lancer

days <- c("monday", "tuesday")
number_of_correct_answer <- 0
number_of_tosses <- 0
for (i in 1:1000){
        toss <- sample(1:2,1)
        for (item in days[1:toss]){
                number_of_correct_answer <- number_of_correct_answer + (toss == 1)
                number_of_tosses <- number_of_tosses + 1
        }
}
number_of_correct_answer/number_of_tosses
#equals 1/3
#but if we divided by 1000 , which is incorrect because every experiment can has more than one toss we will get 1/2
number_of_correct_answer/1000
#equals 1/2

Le paradoxe apparent découle du faux principe selon lequel les probabilités sont absolues. En fait, les probabilités sont relatives à la définition des événements comptés.

$P(Letter,Time|Audio)$$P(Letter|Time,Audio)$$P(Letter,Time)$$P(Letter|Time)$

P (têtes) = 1/2 des mondes (ou naissances) et P (têtes) = 1/3 des instants (ou réveils) sont vrais, mais après s'être endormis, la Belle au bois dormant ne peut calculer que des probabilités relatives aux instants parce qu'elle sait que sa mémoire s'efface. (Avant de dormir, elle le calculait en fonction des mondes.)

Je pense que l'erreur vient des "tiers" et que ma raison en est que les "réveils" ne sont pas aussi probables - si vous êtes réveillé, il est plus probable que ce soit "la première fois" que vous soyez réveillé - un 75 % de chance en fait.

Cela signifie que vous ne pouvez pas compter les "3 résultats" (heads1, tails1, tails2) de manière égale.

$AA=A$$A$$Pr(A|I)=1$$I\implies A$$IA=I$$p(H|AI)=p(H|I)=0.5$

Les maths sont clairement montrés dans la réponse donnée par @ pit847, je ne vais donc pas le répéter dans le mien.

$1$$g$$U$

$$E(U|h)=0.5\times (g-1) + 0.5\times (-2) = \frac{g - 3}{2}$$ $$E(U|t)=0.5\times (-1) + 0.5 \times (2g-2)=\frac{2g - 3}{2}$$

donc vous gagnez un supplémentaire$\frac{g}{2}$$g=\frac{3}{2}=1.5$

$E(U|h)=\frac{g-5}{3}$$E(U|t)=\frac{4g-5}{3}$$g=\frac{5}{4}=1.25$

$g=1.4$$498$$502$$1004 \times 1.4 = 1405.6$$1502$$97.6$

Quand la Belle au bois dormant est réveillée, elle sait:

$r$$r = \mathrm{H}$$r = \mathrm{T}$

$\mathcal{I}$

$\mathrm{prob}(r = \mathrm{H} | \mathcal{I})?$

$w$$\mathcal{I}$

$$(r = \mathrm{H} \vee r = \mathrm{T}) \wedge (r = \mathrm{H} \implies w = 1) \wedge (r = \mathrm{T} \implies (w = 1 \vee w = 2))$$

$$(r = \mathrm{H} \wedge w = 1) \vee (r = \mathrm{T} \wedge w = 1) \vee (r = \mathrm{T} \wedge w = 2)$$

$\frac{1}{3}$$\mathrm{prob}(r = \mathrm{H} | \mathcal{I}) = \frac{1}{3}$

---

PS

$\mathrm{H}$$\mathrm{T}$$\mathrm{prob}(r = \mathrm{H} | \mathcal{I}) = \frac{1}{2}$

À mon avis, cependant, les déclarations de ce type sont techniquement irrecevables, car une probabilité est quelque chose qui doit être élaboré à partir des propositions antécédentes et conséquentes. La phrase "le tirage au sort d'une pièce équitable" soulève la question: comment la Belle au bois dormant sait-elle que c'est juste? Quelles informations a-t-elle qui établit cela? Normalement, l'équité d'une pièce idéale est déterminée par le fait qu'il existe deux possibilités équivalentes d'un point de vue informationnel. Lorsque la pièce est mélangée avec le facteur de réveil, nous obtenons trois possibilités qui sont équivalentes sur le plan informationnel. C'est essentiellement une pièce idéale à trois faces, nous arrivons donc à la solution ci-dessus.

En retard à la fête, je sais.

Cette question est très similaire au problème de Monty Hall, où il vous est demandé de deviner derrière laquelle des 3 portes le prix est. Disons que vous choisissez la porte n ° 1. Ensuite, le présentateur (qui sait où se trouve le prix) supprime la porte n ° 3 du jeu et vous demande si vous souhaitez changer de devinette de porte n ° 1 à porte n ° 2, ou si vous souhaitez conserver votre estimation initiale. L’histoire raconte, vous devriez toujours changer, car la probabilité que le prix soit attribué est plus grande. Les gens sont généralement désorientés à ce stade et soulignent que la probabilité que le prix soit dans l'une ou l'autre porte est toujours de 1/3. Mais ce n'est pas la question. La question est ce que la probabilité initiale était, la vraie question est de savoir quelles sont les chances que votre première hypothèse soit correcte, et quelles sont les chances que vous vous trompiez. Dans ce cas, vous devriez changer, car les chances que vous vous trompiez sont de 2/3.

Comme avec le problème de Monty Hall, les choses deviennent incroyablement plus claires si nous faisons 3 portes sur un million de portes. S'il y a un million de portes et que vous choisissez la porte n ° 1 et que le présentateur ferme les portes de 3 à un million, ne laissant que les portes n ° 1 et n ° 2 en jeu, changeriez-vous? Bien sûr que tu le ferais! Les chances que vous ayez bien choisi la porte No1 au départ étaient de 1 sur un million. Il y a des chances que vous ne l'ayez pas fait.

En d’autres termes, l’erreur de raisonnement vient du fait de croire que la probabilité de réaliser une action est égale à la probabilité qu’une action ait été effectuée, lorsque le contexte entre les deux ne fait pas d’eux des déclarations équivalentes. Formulé différemment, selon le contexte et les circonstances du problème, la probabilité de «choisir correctement» peut ne pas être la même que la probabilité de «bien choisir».

De même avec le problème de la belle au bois dormant. Si vous n’êtes pas réveillé 2 fois dans le cas des queues, mais 1 million de fois, il est plus logique que vous disiez: «L’éveil actuel que j’éprouve actuellement est bien plus susceptible de faire partie de ceux qui se trouvent au milieu d’une série de réveils consécutifs à un lancer de la queue, que je venais de tomber sur ce seul réveil qui a résulté de la tête ". L'argument selon lequel il s'agit d'une pièce équitable n'a rien à voir avec rien ici. La pièce équitable ne vous indique que les chances de «lancer» la tête, c'est-à-dire la probabilité de vous réveiller une fois contre un million de fois lorsque vous lancez cette pièce pour la première fois. Donc, si vous demandez à SB avant l'expérience de choisir si elle dormira une fois ou un million de fois avant chaque lancer, sa probabilité de "choisir correctement" est bien de 50%.

Mais à partir de ce moment-là, en supposant des expériences consécutives, et le fait que SB ne soit pas informée de l'expérience dans laquelle elle se trouve actuellement, à tout moment où elle se réveille, la probabilité d'avoir «jeté» Heads est bien moindre, car elle est plus susceptible d'être réveillé de l'un des millions de réveils que d'un seul.

Notez que cela implique des expériences consécutives, conformément à la formulation du problème. Si SB est rassurée dès le début de l’expérience selon laquelle il n’y aura qu’une seule expérience (c’est-à-dire une seule tentative), sa croyance remonte à 50%, puisqu’à un moment donné, le fait qu’elle se soit réveillée maintes fois auparavant devient sans objet. En d'autres termes, dans ce contexte, la probabilité de "choisir correctement" et de "bien choisir" redevient équivalente.

Notez également que toute reformulation utilisant 'paris' est également une question différente qui change complètement le contexte. Par exemple, même dans une seule expérience, si vous deviez gagner de l'argent chaque fois que vous avez bien deviné, vous iriez évidemment chercher la queue; mais c'est parce que la récompense escomptée est plus élevée, et non pas parce que la probabilité de queues est différente de celle des têtes. Par conséquent, les "solutions" qui introduisent les paris ne sont valables que dans la mesure où elles ramènent le problème à une interprétation très particulière.

Avant de s'endormir, elle pense que la probabilité que la prochaine pièce soit la tête est de 1/2. Après son réveil, elle pense que la probabilité que le dernier flip de la pièce à jouer soit une tête est de 1/3. Ces événements ne sont pas la même chose car il n’ya pas de correspondance univoque entre l’éveil et les lancers.

Que diriez-vous de la solution suivante:

La question est d'évaluer la probabilité que la pièce monte "en tête". Donc, si la Belle au bois dormant se réveillait lundi et savait quel jour on était, elle devrait en effet croire que la probabilité de "têtes" est de 50%.

Cependant, si elle était réveillée mardi et savait quel jour on était, la probabilité que la pièce remonte a été nulle.

Ainsi, la connaissance de ce jour ajoute des informations cruciales modifiant la probabilité de "têtes".

La Belle au bois dormant, cependant, ne sait pas quel jour on se réveille. Nous devons donc déterminer les probabilités de nous réveiller le lundi ou le mardi respectivement.

Tout d'abord, considérons la probabilité que ce soit mardi. Lorsque l'expérimentateur lance la pièce, le résultat décide quel scénario de l'expérience il va suivre. Si c'est la tête, le SB est réveillé que lundi. Si c'est la queue, elle est réveillée le lundi et le mardi. Les probabilités que l'expérience prenne l'une de ces voies sont évidemment de 50/50. Maintenant, si nous sommes dans la branche "deux réveils", la probabilité que ce soit un mardi ou un lundi lorsque le SB se réveille est de 50%. Nous pouvons donc calculer la probabilité totale que ce soit mardi lorsque le SB s’éveille à 0,5 * 0,5 = 0,25. Evidemment alors, la probabilité que ce soit lundi quand elle se réveille est 1-0.25 = 0.75

Si la SB savait qu'elle s'était réveillée mardi, la probabilité que la pièce soit apparue "têtes" aurait été de zéro.

Cependant, si elle savait qu'elle s'est réveillée lundi, la probabilité que la pièce soit apparue "têtes" aurait été de 50%. Mais nous savons que la probabilité que ce soit lundi est de 0,75. Donc, pour connaître la probabilité totale que la pièce soit apparue "têtes", il faut multiplier 0,75 * 0,5 = 0,375.

La réponse est donc, la probabilité que la pièce soit levée "têtes" est de 37,5%

Ce qui précède n’est qu’une suggestion. S'il vous plaît, faites remarquer, si vous voyez des défauts dans mon raisonnement.