Densité de Y = log (X) pour X distribué gamma

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Supposons que j'ai une variable aléatoire et que je définisse . Je voudrais trouver la fonction de densité de probabilité de . $X \sim \text{Gamma}(k, \theta)$ $Y = \log(X)$ $Y$

Je pensais à l'origine que je définirais simplement la fonction de distribution cumulative X, ferais un changement de variable et prendrais "l'intérieur" de l'intégrale comme ma densité, comme ça,

\begin{aligned} P (X \leq c) & = \int_{0}^{c} \frac{1}{θ^{k}} \frac{1}{Γ (k)} X^{k - 1} e^{- \frac{X}{θ}} ré X \\ P (Oui \leq Journal c) & = \int_{Journal (0)}^{Journal (c)} \frac{1}{θ^{k}} \frac{1}{Γ (k)} \exp (y)^{k - 1} e^{- \frac{\exp (y)}{θ}} \exp (y) ré y \end{aligned}

$\begin{align} P(X \le c) & = \int_{0}^{c} \frac{1}{\theta^k} \frac{1}{\Gamma(k)} x^{k- 1} e^{-\frac{x}{\theta}} dx \\ P(Y \le \log c) & = \int_{\log(0)}^{\log(c)} \frac{1}{\theta^k} \frac{1}{\Gamma(k)} \exp(y)^{k- 1} e^{-\frac{\exp(y)}{\theta}} \exp(y) dy \\ \end{align}$

Ici, j'utilise et , puis sous dans les définitions de et en termes de . $y = \log x$ $dy = \frac{1}{x} dx$ $x$ $dx$ $y$

La sortie, malheureusement, ne s'intègre pas à 1. Je ne sais pas où est mon erreur. Certains pourraient-ils me dire où est mon erreur?

pdf gamma-distribution

— duckworthd
source

Si vous travaillez sur le cdf, vous ne devez pas changer l'intégrale de la première à la seconde intégrale. Votre erreur est d'essayer d'utiliser à la fois les approches cdf et jacobienne.

— Xi'an

Écrivez les densités avec les indicateurs pour avoir une image claire.

Si , alors $X\sim\mathrm{Gamma}(k,\theta)$

F_{X} (X) = \frac{1}{θ^{k} Γ (k)} X^{k - 1} e^{- X / θ} {je}_{(0, \infty)} (X) .

$f_X(x) = \frac{1}{\theta^k \Gamma(k)} \;\; x^{k-1} e^{-x/\theta} \, I_{(0,\infty)}(x) \, .$

Si , avec l'inverse , alors et le CDF est obtenu à partir de la définition $Y=g(X)=\log X$ $X=h(Y)=e^Y$

F_{Oui} (y) = F_{X} (h (y)) | h^{'} (y) | = \frac{1}{θ^{k} Γ (k)} \exp (k y - e^{y} / θ) {je}_{(- \infty, \infty)} (y),

$f_Y(y) = f_X(h(y)) |h'(y)| = \frac{1}{\theta^k\Gamma(k)} \;\; \exp\left( ky-e^y/\theta\right)\,I_{(-\infty,\infty)}(y) \, ,$

P (Oui \leq y) = \int_{- \infty}^{y} F_{Oui} (y) ré y .

$P(Y\leq y) = \int_{-\infty}^y f_Y(y) dy \, .$

— Zen
source

C'est une bonne réponse, mais vous devriez peut-être paramétrer la distribution Gamma de la même manière que la question d'origine.

— supposé normal

Bon point, Max. Terminé.

— Zen

Woops, mes propres définitions avaient des bugs. Doit être .

α = k

$\alpha = k$

— duckworthd