Pourquoi le lemme de Neyman-Pearson est-il un lemme et non un théorème?

Il s'agit plus d'une question d'histoire que d'une question technique.

Pourquoi le `` lemme de Neyman-Pearson '' est-il un lemme et non un théorème?

lien vers le wiki: https://en.wikipedia.org/wiki/Neyman%E2%80%93Pearson_lemma

NB : La question n'est pas de savoir ce qu'est un lemme et comment les lemmes sont utilisés pour prouver un théorème, mais de l'histoire du lemme de Neyman-Pearson. A-t-il été utilisé pour prouver un théorème, puis il s'est avéré plus utile? Existe-t-il des preuves irréfutables que cela a été le cas?

NB: C'est historiquement la première réponse à la question OP. En statistique, le lemme Neyman – Pearson a été introduit par Jerzy Neyman et Egon Pearson dans un article de 1933 .. En outre, il est utilisé dans la pratique par les statisticiens comme théorème , pas comme un lemme, et il est appelé un lemme en grande partie à cause du document de 1936. À mon humble avis, le traitement historique ne répond pas à la question «pourquoi», et ce message tente de le faire.

Ce qu'est un lemme par opposition à un théorème ou corollaire est abordé ailleurs et ici . Plus exactement, en matière de définition: Lemme, premier sens : Un théorème subsidiaire ou intermédiaire dans un argument ou une preuve. Je suis d'accord avec le dictionnaire d'Oxford, mais j'aurais changé l'ordre des mots et noté la langue exacte: théorème intermédiaire ou subsidiaire. Certains auteurs croient à tort qu'un lemme doit être intermédiaire dans une preuve, et c'est le cas de nombreux lemmes sans nom. Cependant, il est courant, au moins pour les lemmes nommés, que le résultat du lemme soit une implication découlant d'un théorème déjà prouvé tel que le lemme est un théorème supplémentaire, c'est-à-dire subsidiaire. De l' Encyclopédie du Nouveau Monde La distinction entre théorèmes et lemmes est assez arbitraire, car le résultat majeur d'un mathématicien est la revendication mineure d'un autre. Le lemme de Gauss et le lemme de Zorn, par exemple, sont suffisamment intéressants en soi pour que certains auteurs présentent le lemme nominal sans continuer à l'utiliser dans la preuve d'un théorème. Un autre exemple de ceci est le lemme d'Evans, qui ne découle pas de la preuve d' un simple théorème de géométrie différentielle qui ... montre que la première équation de la structure de Cartan est une égalité de deux postulats tétrades ... Le postulat tétrade [ Sic , lui-même] est la source du lemme d'Evans de géométrie différentielle. Wikipédia mentionne l'évolution des lemmes dans le temps:Dans certains cas, à mesure que l'importance relative de différents théorèmes devient plus claire, ce qui était autrefois considéré comme un lemme est maintenant considéré comme un théorème, bien que le mot "lemme" reste dans le nom.

Cependant, notez bien que les lemmes autonomes ou non sont également des théorèmes. C'est-à-dire qu'un théorème qui est un lemme peut parfois être une réponse à la question "Qu'est-ce que le théorème (ci-dessus) implique?" Parfois, les lemmes sont un tremplin utilisé pour établir un théorème.

Il ressort de la lecture du document de 1933: IX. Sur le problème des tests les plus efficaces d'hypothèses statistiques. Jerzy Neyman, Egon Sharpe Pearson et Karl Pearson , que le théorème étudié est le théorème de Bayes . Certains lecteurs de cet article ont du mal à relier le théorème de Bayes au document de 1933 malgré une introduction assez explicite à cet égard. Notez que l'article de 1933 est jonché de diagrammes de Venn, les diagrammes de Venn illustrent la probabilité conditionnelle , qui est le théorème de Bayes. Certaines personnes appellent cela la règle de Bayes, car il est exagéré de se référer à cette règle comme étant un «théorème». Par exemple, si nous appelions «addition» un théorème, au lieu d'être une règle, nous confondrions plutôt qu'expliquerions.

Par conséquent, le lemme de Neyman-Pearson est un théorème concernant le test le plus efficace des hypothèses bayésiennes, mais il n'est pas actuellement appelé ainsi parce qu'il n'était pas au départ.

La version classique apparaît en 1933, mais la plus ancienne occasion de l'appeler un "lemme" se trouve peut-être dans l'article de Neyman et Pearson de 1936 Contributions à la théorie des tests d'hypothèses statistiques (pp. 1-37 de Statistical Research Memoirs Volume I) . Le lemme et la proposition qu'il a été utilisé pour prouver étaient les suivants:

Il est connu aujourd'hui sous le nom de lemme fondamental de Neyman-Pearson généralisé (cf. chapitre 3.6 des tests statistiques de Lehman et Romano ), et il se réduit à votre Neyman-Pearson quotidien lorsque . Le lemme lui-même a ensuite été étudié par plusieurs grands noms de cette époque (par exemple PL Hsu, Dantzig, Wald, Chernoff, Scheffé) et le nom "Neyman and Pearson's lemma" est resté ainsi.$m=1$

Voici une liste d'articles / livres pertinents si vous êtes intéressé par l'histoire du lemme de Neyman-Pearson:

• L'histoire de Neyman – Pearson: 1926-34 , ES Pearson, dans Research Papers in Statistical: Festschrift for J. Neyman .
• Introduction à Neyman et Pearson (1933) sur le problème des tests les plus efficaces d'hypothèses statistiques , EL Lehmann, dans Breakthroughs in Statistics: Foundations and Basic Theory .
• Neyman-From Life , C. Reid.