Quels processus pourraient générer des données ou des paramètres distribués par Laplace (double exponentielle)?

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Beaucoup de distributions ont des "mythes d'origine", ou des exemples de processus physiques qu'ils décrivent bien:

Vous pouvez obtenir des données normalement distribuées à partir de sommes d'erreurs non corrélées via le théorème de limite centrale
Vous pouvez obtenir des données distribuées binomialement à partir de retournements de pièces indépendants, ou des variables distribuées par Poisson à partir d'une limite de ce processus
Vous pouvez obtenir des données distribuées de façon exponentielle à partir des temps d'attente sous un taux de décroissance constant.

Etc.

Mais qu'en est-il de la distribution Laplace ? C'est utile pour la régularisation L1 et la régression LAD , mais il est difficile pour moi de penser à une situation où l'on devrait réellement s'attendre à le voir dans la nature. La diffusion serait gaussienne, et tous les exemples auxquels je peux penser avec des distributions exponentielles (par exemple les temps d'attente) impliquent des valeurs non négatives.

distributions laplace-distribution

— David J. Harris
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Connexes: stats.stackexchange.com/questions/71126/… .

— StubbornAtom

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Au bas de la page Wikipedia que vous avez liée, vous trouverez quelques exemples:

Si et sont des distributions exponentielles IID, $X_1$ $X_2$ $X_1 - X_2$ a une distribution de Laplace.
Si sont des distributions normales standard IID, a une distribution Laplace standard. Ainsi, le déterminant d'une matrice aléatoire avec des entrées normales standard IID a une distribution de Laplace. $X_1, X_2, X_3, X_4$ $X_1X_4 - X_2X_3$ $2\times 2$ $\begin{pmatrix}X_1 & X_2 \\\ X_3 & X_4 \end{pmatrix}$
$X_1, X_2$ $[0,1]$ $\log \frac{X_1}{X_2}$ has a standard Laplace distribution.

— Douglas Zare
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+1 It may be worth noticing that all three examples are really the same: #2 can be rewritten as

((X_{1} + X_{4})^{2} + (X_{2} + X_{3})^{2} - [(X_{1} - X_{4})^{2} + (X_{2} - X_{3})^{2}]) / 4

$((X_1+X_4)^2 + (X_2+X_3)^2 - [(X_1-X_4)^2 + (X_2-X_3)^2])/4$ , a scaled difference of two scaled

χ^{2} (2)

$\chi^2(2)$ (Exponential) distributions, and #3 is the difference of two Exponential distributions because the

\log (X_{i})

$\log(X_i)$ are Exponential.

— whuber

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@whuber: Thanks for that explanation for why the determinant was the same as the others! I was surprised to see it, since I would have guessed that the density of the determinant would vary smoothly, as it does everywhere except

0

$0$ .

— Douglas Zare

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So I'm trying to think of a "story" that would fit any of the examples on wikipedia. Say I'm playing pinball with my equally lousy brother. Each game we play one ball each. Roughly any given moment there is an equal chance that I (or he) will lose a ball and the score is basically a linear function of for how long I play. Then my score (and his) could be modelled by an exponential distribution and the difference between me and my brother's score each round will be Laplace distributed. Sort of works?

— Rasmus Bååth

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Define a compound geometric distribution as the sum of $N_p$ iid random variables $X_N = \sum_i^{N_p} X_i$ , where $N_p$ is distributed like a geometric distribution with parameter $p$ . Assume that the iid random variables $X_i$ have finite mean $\mu$ and variance $v$ .

It was shown by Gnedenko that in the limit $p\to 0$ , the compound geometric distribution approaches a Laplace distribution.

$Y:= \lim_{p\to 0} \sqrt{p} (X_N - N_p\mu) = Laplace(0,\sqrt{\frac{v}{2}})$

The density of the $Laplace(a,b)$ is $\phi(x) = \frac{1}{2b} \exp\left( - \frac{|x-a|}{2b}\right)$

B.V Gnedenko, Limit theorems for Sums of random number of positive independent random variables, Proc. 6th Berkeley Syposium Math. Stat. Probabil. 2, 537-549, 1970.

— danp
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