Comment la famille de distributions avec PDF est-elle proportionnelle à

Considérons une famille de distributions avec PDF (jusqu'à une constante de proportionnalité) donnée par Comment ça s'appelle? S'il n'a pas de nom, comment l'appelleriez-vous?

p (x) \sim \frac{1}{(1 + α X^{2})^{1 / α}} .

$p(x)\sim \frac{1}{(1+\alpha x^2)^{1/\alpha}}.$

Il ressemble assez à la famille des distributions avec PDF proportionnel à $t$

p (X) \sim \frac{1}{(1 + \frac{1}{ν} X^{2})^{(ν + 1) / 2}} .

$p(x)\sim \frac{1}{(1+\frac{1}{\nu} x^2)^{(\nu+1)/2}}.$

Lorsque $\alpha=\nu=1$ nous avons une distribution $t$ avec 1 df, alias distribution de Cauchy. Lorsque $\alpha\to 0$ ou $\nu\to\infty$ , nous obtenons la distribution gaussienne.

Cette famille de distributions apparaît dans Yang et al., Heavy-Tailed Symmetric Stochastic Neighbour Embedding, NIPS 2009 , mais ils n'utilisent aucun nom pour s'y référer.

— amibe
source

mathworks.com/help/stats/t-location-scale-distribution.html . Je dirais que c'est une forme de distribution t échelonnée en définissant les valeurs correspondantes à v et à l'échelle.

— Cagdas Ozgenc

Merci @CagdasOzgenc (+1). Tu as raison. Glen_b a développé cela dans une réponse.

— amoeba

Dans le cas où vous ne le connaissez pas, mgcv::gampermet la spécification d'un T échelonné comme réponse lors de l'utilisation gam( family= "scat", ... ).

— usεr11852

C'est simplement une échelle particulière $t$ -distribution - un $t$ -distribution avec une variance différente de la norme $t$ -Distribution.

Laisser $\nu = \frac{2}{\alpha}-1$ . Laisser $\sigma= \frac{\sqrt{2-\alpha}}{\alpha}$ .

Alors (si je l'ai bien fait) $Y=X/\sigma$ est une norme $t$ avec $\nu$ df

Voici comment s'est déroulé mon raisonnement:

F_{Oui} (y) = c \cdot \frac{1}{(1 + \frac{y^{2}}{ν})^{(ν + 1) / 2}}

$f_Y(y)= c\cdot \frac{1}{(1+\frac{y^2}{\nu})^{(\nu+1)/2}}$ est une norme

t

$t$ -densité.

Nous obtenons la famille d'échelle en laissant $X/\sigma=Y$ , dans quel cas

F_{X} (X) = \frac{1}{σ} F_{Oui} (\frac{X}{σ}) = \frac{c}{σ} \cdot \frac{1}{(1 + \frac{X^{2}}{σ^{2} ν})^{(ν + 1) / 2}}

$f_X(x) = \frac{1}{\sigma}f_Y\Big(\frac{x}{\sigma}\Big) = \frac{c}{\sigma}\cdot \frac{1}{(1+\frac{x^2}{\sigma^2\nu})^{(\nu+1)/2}}$ est une échelle

t

$t$ -densité.

Équilibrez simplement les coefficients de votre densité et résolvez $\nu$ et $\sigma$ .

Reconnaître qu'un paramètre d'échelle prendra tout ce qui n'est pas "correct" dans $\alpha x^2$ (étant donné que $\nu$ est déjà défini par la mise en équivalence des pouvoirs) était tout ce qui était nécessaire pour voir qu'il est mis à l'échelle $t$ ; l'algèbre n'a pas été nécessaire jusqu'à ce qu'il soit temps de trouver réellement les paramètres de la $t$ .

[Note finale: dans le cas où il n'est pas évident qu'une famille d'échelles a la forme $f_X(x) = \frac{1}{\sigma}f_Y\Big(\frac{x}{\sigma}\Big)$ , prenez la déclaration de probabilité $F_X(x) = F_Y\Big(\frac{x}{\sigma}\Big)$ (notant que l'événement $X/\sigma\leq t$ est identique à l'événement $Y\leq t$ ) et différencier.]

— Glen_b -Reinstate Monica
source

Il est intéressant de noter que cette conversion tombe en panne lorsque

α \geq 2

$\alpha\ge 2$ . Je suppose que c'est parce que le PDF à l'échelle divergera lorsqu'il sera intégré à la ligne réelle, non?

— amoeba

Oui. Par exemple à

α = 2

$\alpha=2$ vous avez quelque chose qui approche

k / | x |

$k/|x|$ dans les queues, et donc les deux moitiés de la divergence intégrale. Eh bien, cet argument est un peu vague, mais vous pouvez le resserrer assez facilement.

— Glen_b -Reinstate Monica

@amoeba Notez que

v a r = σ^{2} \frac{v}{v - 2}

$var=\sigma^2 \frac{v}{v-2}$ . J'utilise cette distribution fréquemment pour l'estimation de la volatilité dans les séries chronologiques financières.

— Cagdas Ozgenc