Comprendre le problème Behrens – Fisher

Cette section de cet article dit:

Ronald Fisher en 1935 a introduit l'inférence fiduciale afin de l'appliquer à ce problème. Il a fait référence à un article antérieur de WV Behrens de 1929. Behrens et Fisher ont proposé de trouver la distribution de probabilité de où et sont les deux moyennes d'échantillon, et et sont leurs écarts-types. [. . . ] Fisher a approximé la distribution de ceci en ignorant la variation aléatoire des tailles relatives des écarts types,

$$T \equiv {\bar x_1 - \bar x_2 \over \sqrt{s_1^2/n_1 + s_2^2/n_2}}$$ $\bar x_1$$\bar x_2$$s_1$$s_2$ $${s_1 / \sqrt{n_1} \over \sqrt{s_1^2/n_1 + s_2^2/n_2}}.$$

Je trouve que je ne suis pas disposé à le croire. (Par conséquent, Wikipedia est faillible!) À un moment donné au cours des deux prochaines semaines, je vais lire ce que Fisher et Behrens et Bartlett ont écrit à ce sujet dans les années 1930. Pour l'instant, je regarde le livre de Fisher intitulé Statistical Methods and Scientific Inference . Comme avec Edwin Jaynes, j'ai l'impression que le fait qu'il était parfois un idiot ne modifie en rien le fait qu'il était un grand génie, mais il ne s'est pas toujours exprimé de la meilleure façon pour communiquer avec petits mortels. À la page 97, Fisher écrit à propos de Bartlett:

[...] l'ensemble de référence [...] ne s'est pas limité au sous-ensemble ayant le rapport observé, mais a été vivement saisi par le MS Bartlett, comme s'il s'agissait d'un défaut dans le test de signification du hypothèse composite selon laquelle, dans des cas particuliers, le critère de rejet est moins fréquemment atteint par hasard que dans d'autres. À la réflexion, je ne pense pas qu'il faille s'attendre à autre chose, [...]$s_1/s_2$

Ainsi, il me semble que Fisher n'avait pas l'intention "d'ignorer" la "variation aléatoire" du rapport comme moyen d'approximation, mais il pensait plutôt qu'il fallait conditionner . Cela ressemble à un "conditionnement sur une statistique auxiliaire", que Fisher a utilisé avec succès dans d'autres contextes.$s_1/s_2$$s_1/s_2$

Si je me souviens bien, j'ai entendu parler de Bartlett pour la première fois lorsque j'ai lu à ce sujet dans l' Encyclopedia of Statistical Science , qui disait simplement que Bartlett était le premier à montrer que les intervalles fiduciaux n'étaient pas la même chose que les intervalles de confiance, en montrant que les intervalles fiduciaux que Fisher avait dérivé dans ce problème n'avaient pas des taux de couverture constants. Cette déclaration ne m'a pas donné l'impression qu'il y avait une controverse à ce sujet.

Voici donc ma question: laquelle est la plus proche de la vérité: l'article Wikipédia ou mes soupçons?

• Fisher, RA (1935) "L'argument fiducial dans l'inférence statistique", Annals of Eugenics , 8, 391–398.

J'ai peut-être déjà mentionné cela sur le site. Je vais essayer de trouver un lien vers un article où j'en ai discuté. Vers 1977, alors que j'étais étudiant diplômé à Stanford, nous avons organisé un séminaire Fisher auquel j'ai participé. Un certain nombre de professeurs et de visiteurs de Stanford y ont participé, notamment Brad Efron et les visiteurs Seymour Geisser et David Hinkley. Jimmie Savage venait de publier à ce moment-là un article intitulé "On Rereading RA Fisher" dans Annal of Statistics je pense. Puisque vous êtes si intéressé par Fisher, je vous recommande de trouver et de lire cet article.

Motivé par l'article, le séminaire a été conçu pour relire bon nombre des articles célèbres de Fisher. Ma mission était l'article sur le problème Behrens-Fisher. Mon sentiment est que Fisher était vain et têtu mais jamais stupide. Il avait une grande intuition géométrique et avait parfois du mal à communiquer avec les autres. Il avait une relation très cordiale avec Gosset mais de violents désaccords avec Karl Pearson (maximum de vraisemblance vs méthode des moments) et avec Neyman et Egon Pearson (test de signification par inférence fiduciaire vs l'approche Neyman-Pearson du test d'hypothèse). Bien que l'argument fiduciaire soit généralement considéré comme le seul gros défaut de Fisher et ait été discrédité, l'approche n'est pas totalement morte et de nouvelles recherches ont été menées ces dernières années.

Je pense que l'inférence fiduciaire était la manière de Fisher d'essayer d'être un "bayésien objectif". Je suis sûr qu'il a longuement réfléchi aux fondements statistiques. Il n'accepta pas l'approche bayésienne mais ne voyait pas non plus l'idée de baser l'inférence sur la considération des échantillons possibles que vous n'aviez pas dessinés comme ayant du sens. Il estimait que l'inférence ne devrait être fondée que sur les données disponibles. Cette idée ressemble beaucoup à l'inférence bayésienne dans la mesure où les bayésiens tirent une inférence basée uniquement sur les données (la probabilité) et les paramètres (la distribution antérieure). À mon avis, Fisher pensait un peu comme Jeffreys, sauf qu'il voulait que l'inférence soit fondée sur la probabilité et voulait tout à fait se passer du prieur. C'est ce qui a conduit à l'inférence fiduciaire.

Un lien vers l'article Savage

La biographie de la fille de Fisher Joan Fisher Box

RA Fisher An Appréciation, éditeurs Hinkley et Feinberg

Un livre d'Erich Lehmann sur Fisher et Neyman et la naissance de la statistique classique

Ceci est un lien vers un post précédent que j'ai commenté et que vous avez également publié. Problème de Behrens – Fisher

En conclusion, je pense que je dois répondre à votre courte question. Si l'énoncé que vous avez cité "Fisher a approximé la distribution de ceci en ignorant la variation aléatoire des tailles relatives des écarts-types", c'est à cela que vous faites allusion, je pense que c'est totalement faux. Fisher n'a jamais ignoré la variation. Je répète que je pense que l'argument fiduciaire était fondé sur l'idée que les données observées et la fonction de vraisemblance devraient être la base de l'inférence et non les autres échantillons que vous auriez pu obtenir de la répartition de la population. Je serais donc d'accord avec vous sur celui-ci. En ce qui concerne Bartlett, si je me souviens de mon étude de cela il y a tant d'années, ils ont également eu des débats animés à ce sujet et Bartlett a présenté un bon dossier et a tenu le sien dans le débat.