Une variable de réponse y est une fonction non linéaire d'un certain nombre de variables prédictives X (dans mes données réelles, la réponse est distribuée de façon binomiale, mais ici j'utilise une valeur normalement distribuée pour plus de simplicité). Je peux modéliser les relations entre les prédicteurs et la réponse à l'aide de splines / lissages (par exemple, les modèles GAM dans le mgcvpackage dans R).
Jusqu'ici tout va bien. Cependant, chaque réponse est le résultat de processus qui évoluent avec le temps. C'est-à-dire que la relation entre les prédicteurs X et la réponse y change avec le temps. Pour chaque réponse, j'ai des données pour les prédicteurs sur un certain nombre de points de temps autour de la réponse. Autrement dit, il y a une réponse par groupe de points dans le temps (pas que la réponse évolue avec le temps).
Certaines illustrations sont probablement utiles à ce stade. Voici quelques données avec des paramètres connus (code ci-dessous), puis tracées à l'aide de ggplot2 (spécifiant la méthode GAM et un lisseur approprié), avec du temps dans les facettes. À titre d'illustration, y est une fonction quadratique de x1, et le signe et l'ampleur de cette relation changent en fonction du temps.
La relation entre x2 et y est circulaire, correspondant à une augmentation de y avec une certaine direction de x2. L'amplitude de cette relation module au fil du temps. (Modélisé dans ggplot en utilisant un gam spécifiant un lisseur cubique circulaire "cc").
Je voudrais modéliser le changement (non linéaire) de chaque prédicteur en fonction du temps en utilisant quelque chose comme une spline bidimensionnelle.
J'ai envisagé d'utiliser un lissage bidimensionnel dans le package mgcv (quelque chose comme te(x1,t)), sauf que cela nécessiterait les données sous une forme longue (c'est-à-dire une seule colonne de points temporels). Je pense que cela est inapproprié, car une réponse est associée à tous les points dans le temps - donc organiser les données sous une forme longue (dupliquant ainsi la même réponse sur plusieurs lignes de la matrice de conception) violerait l'indépendance des observations. Mes données sont actuellement organisées en colonnes (y, x1.t1, x1.t2, x1.t3, ..., x2.t1, x2.t2, ...)et je pense que c'est le format le plus approprié.
J'aimerais savoir:
- existe-t-il une meilleure façon de modéliser ces données
- dans l'affirmative, à quoi ressemblerait la matrice / formule de conception du modèle. En fin de compte, je voudrais estimer les coefficients du modèle en utilisant l'inférence bayésienne dans un package mcmc comme JAGS, donc je voudrais savoir comment écrire une spline bidimensionnelle.
Code R pour reproduire mon exemple:
library(ggplot2)
library(mgcv)
#-------------------
# start by generating some data with known relationships between two variables,
# one periodic, over time.
set.seed(123)
nTimeBins <- 6
nSamples <- 500
# the relationship between x1, x2 and y are not linear.
# y = 0.4*x1^2 -1.2*x1 + 0.4*sin(x2) + 1.2*cos(x2)
# the relationship between x1, x2 and y evolve over time.
x1.timeMult <- cos(seq(-pi,pi,length=nTimeBins))
x2.timeMult <- cos(seq(-pi/2,pi/2,length=nTimeBins))
qplot(x=1:nTimeBins,y=x1.timeMult,geom="line") +
geom_line(aes(x=1:nTimeBins,y=x2.timeMult,colour="red")) +
guides(colour=FALSE) + ylab("multiplier")
df <- data.frame(setup=rep(NA,times=nSamples))
for (time in 1 : nTimeBins){
text <- paste('df$x1.t',time,' <- runif(nSamples,min=-3,max=3)',sep="")
eval(parse(text=text))
text <- paste('df$x2.t',time,' <- runif(nSamples,min=-pi,max=pi)',sep="")
eval(parse(text=text))
}
df$setup <- NULL
# each y is a function of x over time.
text <- 'y <- '
# replicated from above for reference:
# y = 0.4*x1^2 -1.2*x1 + 0.4*sin(x2) + 1.2*cos(x2)
for (time in 1 : nTimeBins){
text <- paste(text,'(0.4*x1.t',time,'^2-1.2*x1.t',time,') *
x1.timeMult[',time,'] + (0.4*sin(x2.t',time,') +
1.2*cos(x2.t',time,'))*x2.timeMult[',time,'] + ',sep="")
}
text <- paste(text,'rnorm(nSamples,sd=0.2)')
attach(df)
eval(parse(text=text))
df$y <- y
#-------------------
# transform into long form data for plotting:
df.long <- data.frame(y=rep(df$y,times=nTimeBins))
textX1 <- 'df.long$x1 <- c('
textX2 <- 'df.long$x2 <- c('
for (time in 1:nTimeBins){
textX1 <- paste(textX1,'x1.t',time,',',sep="")
textX2 <- paste(textX2,'x2.t',time,',',sep="")
}
textX1 <- paste(textX1,'NULL)',sep="")
textX2 <- paste(textX2,'NULL)',sep="")
eval(parse(text=textX1))
eval(parse(text=textX2))
# time stamp:
df.long$t <- factor(rep(1:nTimeBins,each=nSamples))
#-------------------
# plot relationships over time using GAM fits in ggplot:
p1 <- ggplot(df.long,aes(x=x1,y=y)) + geom_point() +
stat_smooth(method="gam",formula=y ~ s(x,bs="cs",k=4)) +
facet_wrap(~ t, ncol=3) + opts(title="x1 versus y over time")
p1
p2 <- ggplot(df.long,aes(x=x2,y=y)) + geom_point() +
stat_smooth(method="gam",formula=y ~ s(x,bs="cc",k=5)) +
facet_wrap(~ t, ncol=3) + opts(title="x2 versus y over time")
p2