Point technique sur la convergence avec l'attente conditionnelle

J'ai une séquence de variables non négatives telles que: $X_n$

E (X_{n} | C_{n}) = \frac{C_{n}}{n^{2}}

$E(X_n|C_n)=\frac{C_n}{n^2}$

où est une séquence de variables aléatoires convergeant presque sûrement vers . $C_n$ $1$

Puis-je conclure que tend à 0 presque sûrement? $X_n$

Remarque: vous pouvez remplacer par n'importe quelle séquence à somme finie. La question reste essentiellement la même et la réponse apportée par Jason fonctionne de la même manière (voir l'argument Borel-Cantelli). $\frac{1}{n^2}$

probability convergence conditional-expectation

— Benoit Sanchez
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Oui, presque sûrement. $X_{n} \to 0$ L'argument que j'ai est un peu compliqué, alors restez avec moi.

Considérons d'abord les événements . Par la convergence presque sûre du il s'ensuit que , et puisque nous avons . Il suffit donc de montrer que comme dans , pour tout . $F_{k} = \bigcup_{n \geq k} \{ C_{n} > 2 \}$ $C_{n}$ $P( \bigcap_{k} F_{k} ) = 0$ $F_{1} \supseteq F_{2} \supseteq \cdots$ $P(F_{k}) \to 0$ $X_{n} \to 0$ $F_{k}^{c}$ $k$

Fixez maintenant un et un . En utilisant la notation pour représenter , nous avons pour C'est en quelque sorte l'élément clé. (Notez également que nous avons utilisé la non négativité de dans la première étape, pour passer de à l'événement plus grand ) À partir d'ici, nous avons juste besoin de quelques arguments théoriques assez courants. $k$ $\varepsilon > 0$ $E[X; A]$ $E[X 1_{A}]$ $n \geq k$

E [X_{n}; F_{k}^{c}] \leq E [X_{n}; C_{n} \leq 2] = E [E (X_{n} | C_{n}); C_{n} \leq 2] = E [C_{n} / n^{2}; C_{n} \leq 2] \leq 2 / n^{2} .

$\begin{equation} E[X_{n} ; F_{k}^{c}] \leq E[X_{n} ; C_{n} \leq 2] = E[ E(X_{n} | C_{n}) ; C_{n} \leq 2] = E[ C_{n} / n^{2} ; C_{n} \leq 2 ] \leq 2 / n^{2}. \end{equation}$

X_{n}

$X_{n}$

F_{k}^{c}

$F_{k}^{c}$

C_{n} \leq 2

$C_{n} \leq 2$

La borne ci-dessus, avec la non négativité de , implique que (pour ), de sorte que $X_{n}$ $P(F_{k}^{c} \cap \{ X_{n} > \varepsilon \}) \leq \frac{2}{n^{2} \varepsilon}$ $n \geq k$

\sum_{n \geq k} P (F_{k}^{c} \cap {X_{n} > ε}) < \infty .

$\begin{equation} \sum_{n \geq k} P(F_{k}^{c} \cap \{ X_{n} > \varepsilon \}) < \infty. \end{equation}$

Par le lemme de Borel-Cantelli, nous pouvons maintenant dire que l'événement a une probabilité nulle. Puisque était arbitraire, cela nous amène comme sur .

F_{k}^{c} \cap {X_{n} > ε for infinitely many n}

$\begin{equation} F_{k}^{c} \cap \{ X_{n} > \varepsilon \, \text{for infinitely many $n$} \} \end{equation}$

ε

$\varepsilon$

X_{n} \to 0

$X_{n} \to 0$

F_{k}^{c}

$F_{k}^{c}$

— Jason
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Cela pourrait être très légèrement modifié pour montrer que pour tout exposant sur tel que , , il me semble.

α

$\alpha$

n

$n$

α > 1

$\alpha > 1$

X_{n} \to 0 a.s.

$X_n \to 0 \space \text{a.s.}$

— jbowman

Merci beaucoup. Par vous voulez dire ou ?

E (X; A)

$E(X;A)$

E (X | A)

$E(X|A)$

E (X 1_{A})

$E(X1_A)$

— Benoit Sanchez

Vous voulez dire :-) Vous devriez peut-être le mentionner. Tout me semble correct, super! Honnêtement, je ne pense pas qu'il existe de preuve plus simple.

E (X 1_{A})

$E(X1_A)$

— Benoit Sanchez

Bon, Benoit, je voulais dire . Je ferai un montage pour clarifier cela.

E (X 1_{A})

$E(X 1_{A})$

— Jason

Définissez . Alors et . Par l'inégalité de Markov, qui a une somme finie, donc par Borel Cantelli, et presque sûrement. $Z_n=X_n/C_n$ $E[Z_n]=1/n^2$ $Z_n\ge 0$ $P(Z_n>\epsilon)\le E[Z_n]/\epsilon = 1/(n^2\epsilon)$ $P(Z_n>\epsilon \text{ infinitely often})=0$ $Z_n\to 0$

Si presque sûrement et presque sûrement alors presque sûrement. $Z_n\to0$ $C_n\to 1$ $X_n=Z_nC_n\to 0$

— jlewk
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