La SVD de la matrice corrélée doit être additive mais ne semble pas être

J'essaie simplement de reproduire une affirmation faite dans l'article suivant, Finding Correlated Biclusters from Gene Expression Data , qui est:

Proposition 4. Si . ensuite nous avons:$X_{IJ}=R_{I}C^{T}_{J}$

je. Si est un bicluster parfait avec un modèle additif, alors est un bicluster parfait avec une corrélation sur les colonnes; ii. Si est un bicluster parfait avec un modèle additif, alors est un bicluster parfait avec une corrélation sur les lignes; iii. Si et sont des biclusters parfaits avec un modèle additif, alors est un bicluster parfaitement corrélé.$R_{I}$$X_{IJ}$
$C_J$$X_{IJ}$
$R_I$$C_J$$X_{IJ}$

Ces propositions peuvent être facilement prouvées ...

... mais bien sûr, ils ne le prouvent pas.

J'utilise certains des exemples simples du document plus la base + le code R personnalisé pour voir si je peux démontrer cette proposition.

corbic <- matrix(c(0,4,-4,2,2,-2,6,0,4,-8,16,-2,-2,10,-14,4), ncol=4)

(du tableau 1F)

du code personnalisé pour convertir le formulaire svd standard X = en comme décrit dans l'article:$UdV^T$$X=RC^{T}$

svdToRC <- function(x, ignoreRank = FALSE, r = length(x$d), zerothresh=1e-9) {
#convert standard SVD decomposed matrices UEV' to RC' form
#x -> output of svd(M)
#r -> rank of matrix (defaults to length of singular values vector)
            # but really is the number of non-zero singular values
#ignoreRank -> return the full decomposition (ignore zero singular values)
#zerothresh -> how small is zero?

    R <- with(x, t(t(u) * sqrt(d)))
    C <- with(x, t(t(v) * sqrt(d)))

    if (!ignoreRank) {
        ind <- which(x$d >= zerothresh)
    } else {
        ind <- 1:r
    }

    return(list(R=as.matrix(R[,ind]), C=as.matrix(C[,ind])))
}

appliquer cette fonction à l'ensemble de données:

 > svdToRC(svd(corbic))
$R
           [,1]       [,2]
[1,]  0.8727254 -0.9497284
[2,] -2.5789775 -1.1784221
[3,]  4.3244283 -0.7210346
[4,] -0.8531261 -1.0640752

$C
          [,1]       [,2]
[1,] -1.092343 -1.0037767
[2,]  1.223860 -0.9812343
[3,]  3.540063 -0.9586919
[4,] -3.408546 -1.0263191

À moins que j'hallucine, ces matrices ne sont pas additives, même si le corbic présente une parfaite corrélation entre les lignes et les colonnes. Il semble étrange que l'exemple qu'ils fournissent montre la propriété qu'ils ont dit qu'il devrait ... à moins que je manque une sorte d'étape de transformation avant ou après svd?

Notez que «bicluster» dans cet article se réfère à un sous-ensemble d'une matrice, «un sous-ensemble de lignes qui présentent un comportement similaire à travers un sous-ensemble de colonnes, ou vice versa». L'identification des biclusters est généralement effectuée dans les algorithmes d'exploration de données. Les auteurs proposent un nouveau «modèle de bicluster corrélé» différent des modèles précédents utilisés pour identifier ces sous-ensembles. Je ne connais rien à la génétique, mais la confusion ici semble assez claire et vient de deux sources:

1. Utilisation du mot «additif»

Il n'y a rien dans cet article qui implique que les deux matrices données dans la sortie de la fonction devraient être «additives», si par «additif», inverses additives est ce que l'on entend par OP. Les auteurs n'utilisent pas le mot additif dans ce sens. Ils font référence à l'obtention d'un bicluster avec un modèle additif, "où chaque ligne ou colonne peut être obtenue en ajoutant une constante à une autre ligne ou colonne".

2. Mauvaise lecture de la proposition 4.3

Suite au commentaire de @StumpyJoePete, la proposition dit que si et sont des biclusters parfaits avec un modèle additif, alors est un bicluster corrélé parfait. Les auteurs ne disent pas que l'inverse sera vrai. Les auteurs ne soutiennent pas que si est un bicluster parfaitement corrélé, alors et$R_I$$C_J$$X_{IJ}$$X_{IJ}$$R_I$$C_J$$R_I$$C_J$

* En outre, les données d'exemple proviennent d'une section complètement différente de l'article que la proposition discutée dans la question.