La distribution gaussienne est-elle un cas spécifique de la distribution bêta?

Si vous regardez une distribution bêta avec $\alpha=\beta=4$ elle ressemble beaucoup à une distribution gaussienne . Mais est-ce? Comment pouvez-vous prouver si une distribution bêta (4,4) est gaussienne ou non?

normal-distribution beta-distribution

— user1068636
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Leurs supports sont tellement différents.

— Deep North

@DeepNorth - suggérez-vous donc que les distributions gaussiennes ne sont pas un type spécifique de distribution bêta?

— user1068636

Plus que de suggérer; si le support est différent, ils ne peuvent pas être la même distribution.

— Glen_b -Reinstate Monica

Ils sont à la fois symétriques et plus ou moins en forme de cloche, mais le bêta symétrique (que ce soit à 4,4 ou à toute autre valeur spécifique) n'est pas réellement gaussien. Vous pouvez le dire même sans regarder la densité - les distributions bêta sont activées (0,1) tandis que toutes les distributions gaussiennes sont activées $(-\infty,\infty)$

Regardons de plus près la comparaison. Nous normaliserons la bêta (4,4) afin qu'elle ait une moyenne de 0 et un écart type 1 (une bêta normalisée ) et verrons comment la densité se compare à une gaussienne standard:

La bêta normalisée (4,4) est limitée à se situer entre -3 et 3 (la gaussienne standard peut prendre n'importe quelle valeur); il est également moins pointu que le gaussien et a des «épaules» plus rondes autour de 1 ou deux écarts-types de chaque côté de la moyenne. Son kurtosis est 27/11 ( 2,45, contre 3 pour le gaussien). $\approx$

Les distributions bêta symétriques avec des valeurs de paramètres plus grandes sont plus proches de la gaussienne.

Dans la limite où le paramètre approche de l'infini, un bêta symétrique normalisé se rapproche d'une distribution normale standard (exemple de preuve ici ).

Donc, aucun cas spécifique de la bêta symétrique n'est gaussien, mais le cas limite d'une bêta convenablement normalisée est gaussien. Nous pouvons voir cette approche plus facilement en regardant le cdf de la bêta, transformé par la fonction quantile du gaussien. À cette échelle, le gaussien se situerait sur la ligne , tandis que la famille bêta symétrique se rapprocherait de la ligne à mesure que le paramètre grossissait. $y=x$ $y=x$

Dans le graphique ci-dessous, nous examinons les écarts par rapport à la ligne pour voir plus clairement l'approche de la bêta ( , ) vers la gaussienne à mesure que augmente. $y=x$ $\alpha$ $\alpha$ $\alpha$

— Glen_b -Reinstate Monica
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Vous n'avez pas nécessairement à standardiser la variable aléatoire Beta pour avoir une variance exactement ; par exemple, une variable aléatoire Student n'a pas la variance . Si au lieu de dire effectivement que si alors mesure que augmente, vous auriez pu laisser tomber le et dire mesure que augmente et vous auriez un meilleur ajustement au centre de la distribution

1

$1$

t

$t$

1

$1$

X_{α, α} \sim Beta (α, α)

$X_{\alpha,\alpha} \sim \text{Beta}(\alpha,\alpha)$

\frac{X_{α} - \frac{1}{2}}{\sqrt{1 / (4 (2 α + 1))}} \overset{d}{\to} N (0, 1)

$\frac{X_\alpha -\frac12}{\sqrt{1/(4(2\alpha+1))}}\xrightarrow{d}\ N(0,1)$

α

$\alpha$

+ 1

$+1$

\frac{X_{α} - \frac{1}{2}}{\sqrt{1 / (8 α)}} \overset{d}{\to} N (0, 1)

$\frac{X_\alpha -\frac12}{\sqrt{1/(8\alpha)}}\xrightarrow{d}\ N(0,1)$

α

$\alpha$

— Henry