Qu'est-ce qu'un champ gaussien stationnaire?

Je sais ce qu'est un champ gaussien. Cependant, je ne sais pas trop ce que l'on entend par stationnaire. J'ai vu cette chose stationnaire à beaucoup d'endroits comme les processus autorégressifs stationnaires, etc., mais je ne sais pas vraiment ce que l'on entend par stationnaire.

gaussian-process stationarity

— user34790
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Pour la série temporelle, la stationnarité signifie que la distribution conjointe des variables dans la séquence dépend essentiellement de leur séparation dans le temps et non de l'heure réelle. Cela implique que la moyenne et la variance sont constantes et la covariance entre la variable à deux moments dépend uniquement de la différence de temps entre les points. Avec des données spatiales, cela signifierait que la distribution d'un ensemble de points sur une grille dépend uniquement de la façon dont ils sont séparés. Donc, si vous déplacez un ensemble de points k unités dans la direction x et m unités dans la direction y, leur distribution conjointe ne changera pas.

— Michael R. Chernick
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+ 1 - mais vous n'avez pas besoin de restreindre les points à une grille. Dans de nombreuses applications spatiales, vous n'avez pas ce luxe, il est donc essentiel que la théorie et les concepts s'appliquent également aux «motifs ponctuels irréguliers».

— whuber

@whuber Bien sûr. L'idée est que pour toute configuration de points, un déplacement de tous les points par un vecteur fixe ne modifierait pas leur distribution conjointe.

— Michael R. Chernick

Cette réponse est en fait une bonne version courte. Il pourrait être utile d'examiner les définitions simples des processus stationnaires. Les champs aléatoires sont une généralisation des processus stochastiques, et l'idée de stationnaire est analogue entre les deux. Vous pouvez trouver ces définitions dans la plupart des livres de probabilités des diplômés de première année.

— Fraijo

Je pense que vous pouvez considérer les fichiers aléatoires comme des processus stochastiques avec un indice spatial plutôt qu'une séquence à une dimension d'entiers ou de points temporels.

— Michael R. Chernick

Donc, à proprement parler, un processus stocahstique est un champ aléatoire avec un seul paramètre "temps" à valeur réelle, mais cela éloigne vraiment le point de la question. Mon seul point était que si vous voulez ignorer les définitions de la théorie des mesures / géométrie différentielle / analyse fonctionnelle des champs aléatoires stationnaires, vous pouvez simplement les visualiser comme des processus stochastiques stationnaires. Il est plus agréable de comprendre ce dernier.

— Fraijo