Valeur journal attendue de la distribution exponentielle non centrale

Supposons que est distribué de manière exponentielle non centrale avec l'emplacement et le taux . Alors, qu'est-ce que . $X$ $k$ $\lambda$ $E(\log(X))$

Je sais que pour , la réponse est où est la constante d'Euler-Mascheroni. Et quand ? $k=0$ $-\log(\lambda) - \gamma$ $\gamma$ $k > 0$

mean expected-value integral

— Neil G
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Avez-vous essayé de vous intégrer à Mathematica?

Je suppose que (lorsque la densité est écrite comme ,) sinon avec probabilité> 0, avec des conséquences terribles pour .

k > 0

$k > 0$

λ \exp {- λ (x - k)}

$\lambda \exp\{-\lambda(x-k)\}$

x < 0

$x < 0$

E \log x

$\mathbb{E}\log x$

— jbowman

J'ai obtenu . Mathematica est plus rapide si vous utilisez la commande pour spécifier l'espace des paramètres.

E [\log (X)] = e^{k λ} Γ (0, k λ) + \log (k)

${\mathbb E}[\log(X)]=e^{k\lambda}\Gamma(0,k\lambda)+\log(k)$ Assumptions

La fonction gamma incomplète supérieure compte-t-elle comme une forme fermée ? (Pour moi, ce n'est pas le cas.) Cela cache simplement une intégrale via la notation.

— cardinal

@NeilG Il s'agit du code Mathematica Integrate[Log[x + k]*\[Lambda]*Exp[-\[Lambda]*x], {x, 0, \[Infinity]}, Assumptions -> k > 0 && \[Lambda] > 0]. Vous pouvez simplement le copier et le coller sur un fichier .nb. Je ne sais pas si le Wolfram Alpha permet d'inclure des restrictions.

L'intégrale souhaitée peut être combattue dans la soumission par des manipulations par force brute; ici, nous essayons plutôt de donner une dérivation alternative avec une saveur légèrement plus probabiliste.

Soit une variable aléatoire exponentielle non centrale avec le paramètre d'emplacement et le paramètre de taux . Alors où . $X \sim \mathrm{Exp}(k,\lambda)$ $k > 0$ $\lambda$ $X = Z + k$ $Z \sim \mathrm{Exp}(\lambda)$

Notez que et ainsi, en utilisant un fait standard pour calculer l'espérance des variables aléatoires non négatives , Mais, sur depuis et ainsi où la dernière égalité découle de la substitution $\log(X/k) \geq 0$

E Journal (X / k) = \int_{0}^{\infty} P (Journal (X / k) > z) ré z = \int_{0}^{\infty} P (Z > k (e^{z} - 1)) ré z .

$\newcommand{\e}{\mathbb E}\newcommand{\rd}{\mathrm d}\renewcommand{\Pr}{\mathbb P} \e \log(X/k) = \int_0^\infty \Pr(\log(X/k) > z)\,\rd z = \int_0^\infty \Pr(Z > k(e^z - 1)) \,\rd z \>.$

P (Z > k (e^{z} - 1)) = \exp (- λ k (e^{z} - 1))

$\Pr(Z > k(e^z -1)) = \exp(-\lambda k(e^z - 1))$

z \geq 0

$z \geq 0$

Z \sim E x p (λ)

$Z \sim \mathrm{Exp}(\lambda)$

E Journal (X / k) = e^{λ k} \int_{0}^{\infty} \exp (- λ k e^{z}) ré z = e^{λ k} \int_{λ k}^{\infty} t^{- 1} e^{- t} ré t,

$\e \log(X/k) = e^{\lambda k} \int_0^\infty \exp(-\lambda k e^z) \, \rd z = e^{\lambda k} \int_{\lambda k}^\infty t^{-1} e^{-t} \,\rd t \>,$

t = λ k e^{z}

$t = \lambda k e^z$ , notant que .

d z = d t / t

$\rd z = \rd t / t$

L'intégrale sur la taille de droite du dernier écran est juste par définition et donc comme confirmé par le calcul Mathematica de @ Procrastinator dans les commentaires de la question. $\Gamma(0,\lambda k)$

E Journal X = e^{λ k} Γ (0, λ k) + Journal k,

$\e \log X = e^{\lambda k} \Gamma(0,\lambda k) + \log k \>,$

NB : La notation équivalente est également souvent utilisée à la place de . $\mathrm E_1(x)$ $\Gamma(0,x)$

— cardinal
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+1 @Michael Chernick Il semble que tout le monde ne soit pas paresseux;).

C'est vraiment génial. Je veux juste signaler à quiconque l'implémentant que de nombreuses implémentations de la fonction gamma incomplète restreignent le premier paramètre à être strictement positif. L'identité résout ce problème mineur.

Γ (0, z) = - Ei (- z)

$\Gamma(0, z) = -\operatorname{Ei}(-z)$

— Neil G