Une question sur les paramètres de la distribution gamma en économétrie bayésienne

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L'article de Wikipédia sur la distribution Gamma répertorie deux méthodes de paramétrage différentes, l'une d'entre elles fréquemment utilisée en économétrie bayésienne avec et , est le paramètre de forme, est le paramètre de taux. $\alpha>0$ $\beta>0$ $\alpha$ $\beta$

X \sim G a m m a (α, β) .

$X\sim \mathrm{Gamma}(\alpha,\beta).$

Dans un manuel d'économétrie bayésienne écrit par Gary Koop, le paramètre de précision suit une distribution Gamma, qui est une distribution antérieure $\frac{1}{\sigma^2}=h$

h \sim G a m m a ({\underline{s}}^{- 2}, \underline{ν}),

$h\sim \mathrm{Gamma}(\underline{s}^{-2},\underline{\nu}),$

où est moyen et est degrés de liberté selon son Annexe. De plus est une erreur standard avec définition $\underline{s}^{-2}$ $\underline{\nu}$ $s^2$

s^{2} = \frac{\sum (y_{i} - \hat{β} x_{i})}{ν} .

$s^2=\frac{\sum(y_i-\hat{\beta}x_i)}{\nu}.$

Ainsi pour moi, ces deux définitions de la distribution Gamma sont complètement différentes, puisque la moyenne et les variances seront différentes. Si nous suivons la définition de wikipedia, la moyenne sera , pas . $\alpha/\beta$ $\underline{s}^{-2}$

Je suis très confus ici, quelqu'un m'aiderait-il à éclaircir les pensées ici?

— Cochon volant
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Je pense que vous faites une confusion: est l'écart-type estimé des données, pas l'écart-type de la distribution gamma. Et ce devrait être le postérieur, pas le prieur.

s^{2}

$s^2$

— Stéphane Laurent

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Le Gamma, malheureusement, n'a pas de paramétrage standard unique. Parfois, un Gamma (a, b) a un moyen , parfois et parfois avec le paramètre de forme . (Il ne s'agit pas d'une liste exhaustive.) Ils sont tous équivalents, par exemple, le dans le deuxième cas est égal à l'inverse du dans le premier cas. Vous devez donc porter une attention particulière à la façon dont la fonction de densité est écrite pour voir quel paramétrage est utilisé.

a b

$ab$

a / b

$a/b$

a

$a$

b

$b$

b

$b$

b

$b$

— jbowman

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Pour tous ceux qui luttent encore avec la notation terrible de Koops: Le problème est que Koop n'utilise ni l'échelle ni la paramétrisation du taux , mais plutôt une paramétrisation «moyenne, degrés de liberté» (voir Annexe, Déf. B. 22). La distribution de dans une paramétrisation correcte (forme, taux) est donc utilisant Notation Koops pour les paramètres. $h$

h \sim Gamma (s h a p e = \underline{ν} / 2, r a t e = {\underline{ν s}}^{2} / 2)

$h \sim \text{Gamma}(shape = \underline{\nu}/2 , rate = \underline{\nu s}^2 / 2)$

— thematthiaz
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Je pense que l'article Wikipedia fait référence à une forme spécifique de la distribution gamma connue sous le nom de . Le chi carré est et serait la constante par laquelle la variable aléatoire est multipliée par pour obtenir une variable aléatoire avec la distribution d'une estimation de variance. C'est-à-dire et . C'est s qui est l'erreur standard et non . Dans l'article que vous avez mentionné, le est répertorié dans les cas spéciaux (deuxième puce). $\chi^2$ $\rm{Gamma}(\nu,1/2)$ $s^2$ $\chi^2$ $\alpha=\nu$ $\beta=1/2$ $s^2$ $\chi^2$

— Michael R. Chernick
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Il est d'usage d'imposer (comme auparavant) soit la distribution gamma à $h=\frac{1}{\sigma^2}$ ou la distribution gamma inverse à $\sigma^2$ . Ensuite, le posteior aura une belle apparence. Je pense que vous pouvez attribuer une distribution gamma à $\sigma^2$ , et toujours tous les calculs pour dériver le marginal en intégrant $\sigma^2$ va passer.

— Ikuyasu
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