Si X et Y ne sont pas corrélés, X ^ 2 et Y sont-ils également non corrélés?

Si deux variables aléatoires et sont pas corrélées, peut-on également savoir que et non corrélées? Mon hypothèse est oui. $X$ $Y$ $X^2$ $Y$

$X, Y$ non corrélé signifie , ou $E[XY]=E[X]E[Y]$

E [X Y] = \int x y f_{X} (x) f_{Y} (y) d x d y = \int x f_{X} (x) d x \int y f_{Y} (y) d y = E [X] E [Y]

$E[XY]=\int xy f_X(x)f_Y(y)dxdy=\int xf_X(x)dx\int yf_Y(y)dy=E[X]E[Y]$

Est-ce que cela signifie également ce qui suit?

E [X^{2} Y] = \int x^{2} y f_{X} (x) f_{Y} (y) d x d y = \int x^{2} f_{X} (x) d x \int y f_{Y} (y) d y = E [X^{2}] E [Y]

$E[X^2Y]=\int x^2y f_X(x)f_Y(y)dxdy=\int x^2f_X(x)dx\int yf_Y(y)dy=E[X^2]E[Y]$

random-variable independence

— Vegard Stikbakke
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Oui. Cette question a déjà été posée et répondue mais je ne trouve pas de référence spécifique sur mon appareil mobile.

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate il semble que la réponse acceptée donne déjà un contre-exemple.

— Vim

@DilipSarwate Vous devez avoir voulu dire "Non" au lieu de "Oui" dans votre commentaire!

— amibe dit Reinstate Monica

@amoeba La version originale de la question portait sur l' indépendance pour laquelle la réponse est effectivement oui. Il a depuis été modifié pour poser des questions sur les variables aléatoires non corrélées. Je ne peux pas changer mon commentaire maintenant.

— Dilip Sarwate

La question initiale était assez confuse, car elle utilisait une mauvaise définition de l'indépendance. La question actuelle est encore confuse, car elle affirme une déduction inappropriée d'être non corrélée (elle suppose ). J'espère que @ Sauvegarderstikbakke lit sur les définitions appropriées de indépendant et non corrélé, avec quelques exemples.

f_{X Y} (x, y) = f_{X} (x) f_{Y} (y)

$f_{XY}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$

— Meni Rosenfeld

Réponses:

Non. Un contre-exemple:

Soit distribué uniformément sur , . $X$ $[-1, 1]$ $Y = X^2$

Alors et aussi ( est une fonction impaire), donc sont pas corrélés. $E[X]=0$ $E[XY]=E[X^3]=0$ $X^3$ $X,Y$

Mais $E[X^2Y] = E[X^4] = E[{X^2}^2] > E[X^2]^2 = E[X^2]E[Y]$

La dernière inégalité découle de l'inégalité de Jensen. Il résulte également du fait que puisque n'est pas constant. $E[{X^2}^2] - E[X^2]^2 = Var(X) > 0$ $X$

Le problème avec votre raisonnement est que peut dépendre de et vice versa, donc votre avant-dernière égalité n'est pas valide. $f_X$ $y$

— Jakub Bartczuk
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Pas besoin de compliquer les choses avec l'inégalité de Jensen;

X^{4}

$X^4$ est une variable aléatoire non négative et n'est pas wp 1, donc (ou vous pouvez simplement faire et voir facilement son positif ).

0

$0$

E [X^{4}] > 0

$E[X^4] >0$

\int_{- 1}^{1} x^{4} d x

$\int_{-1}^1 x^4 dx$

— Batman

Vous devez également ajouter un tracé. J'avais envisagé un exemple similaire (Y = | X | sur -1: +1) mais je l'aurais présenté visuellement.

— Anony-Mousse

@Batman Je ne vois pas vraiment comment cela vous donne quelque chose, car nous sommes intéressés si

E [{X^{2}}^{2}] - E [X^{2}]^{2} > 0

$E[{X^2}^2] - E[X^2]^2 > 0$

— Jakub Bartczuk

@ Anony-Mousse Pas besoin de restreindre Y. Y = | X | répond à l'exigence.

— Loren Pechtel

LorenPechtel pour la visualisation. Parce qu'à mon humble avis, il vaut mieux voir pourquoi cela peut arriver, et pas seulement que le résultat mathématique est comme souhaité.

— Anony-Mousse

Même si , non seulement il est possible que et soient corrélés, mais ils peuvent même être parfaitement corrélés, avec : $\operatorname{Corr}(X,Y)=0$ $X^2$ $Y$ $\operatorname{Corr}(X^2,Y)=1$

> x <- c(-1,0,1); y <- c(1,0,1)
> cor(x,y)
[1] 0
> cor(x^2,y)
[1] 1

Ou : $\operatorname{Corr}(X^2,Y)=-1$

> x <- c(-1,0,1); y <- c(-1,0,-1)
> cor(x,y)
[1] 0
> cor(x^2,y)
[1] -1

Si vous ne pouvez pas lire le code R , le premier exemple équivaut à considérer deux variables aléatoires et avec une distribution conjointe telle que est également susceptible d'être , ou $X$ $Y$ $(X,Y)$ $(-1,1)$ $(0,0)$ $(1,1)$ . Dans l'exemple parfaitement corrélé négativement, est également susceptible d'être , ou . $(X,Y)$ $(-1,-1)$ $(0,0)$ $(1,-1)$

Néanmoins, nous pouvons également construire et $X$ $Y$ telle sorte que , donc tous les extrêmes sont possibles: $\operatorname{Corr}(X^2,Y)=0$

> x <- c(-1,-1,0,1,1); y <- c(1,-1,0,1,-1)
> cor(x,y)
[1] 0
> cor(x^2,y)
[1] 0

— Silverfish
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L'erreur dans votre raisonnement est que vous écrivez ce qui suit à propos de : $E[h(X,Y)]$

E [h (X, Y)] = \int h (x, y) f_{X} (x) f_{Y} (y) d x d y

$E[h(X,Y)]=\int h(x,y) f_X(x)f_Y(y)dxdy$ tandis que en général Les deux coïncident si , c'est-à-dire si et sont indépendants. Être non corrélé est une condition nécessaire mais pas suffisante pour être indépendant. Donc, si deux variables et sont pas corrélées mais dépendent, alors et peuvent être corrélés.

E [h (X, Y)] = \int h (x, y) f_{X Y} (x, y) d x d y .

$E[h(X,Y)]=\int h(x,y) f_{XY}(x,y)dxdy.$

f_{X Y} (x, y) = f_{X} (x) f_{Y} (y)

$f_{XY}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$

X

$X$

Y

$Y$

X

$X$

Y

$Y$

f (X)

$f(X)$

g (Y)

$g(Y)$

— Luca Citi
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