Explication intuitive de la racine unitaire

Comment expliqueriez-vous intuitivement ce qu'est une racine unitaire dans le contexte du test de la racine unitaire?

Je pense à des façons d’expliquer un peu ce que j’ai fondé dans cette question .

Le cas de racine unitaire est que je sais (peu en passant) que le test de racine unitaire est utilisé pour tester la stationnarité dans une série chronologique, mais c'est tout.

Comment iriez-vous expliquer cela au profane ou à une personne qui a étudié un cours de base sur les probabilités et les statistiques?

MISE À JOUR

J'ai accepté la réponse de whuber car c'est ce qui reflète le plus ce que j'ai demandé ici. Mais j'exhorte tous ceux qui sont venus ici à lire les réponses de Patrick et Michael également, car elles constituent naturellement la "prochaine étape" dans la compréhension de la racine unitaire. Ils utilisent les mathématiques, mais de manière très intuitive.

intuition unit-root

— Lucas Reis
source

J'ai voté les trois réponses actuelles à cette question (Michael Chernick, Patrick Caldon et Whuber). Pris ensemble, je pense qu'ils fournissent une compréhension approfondie de la racine unitaire, de l'intuition à certaines des mathématiques sous-jacentes. +1 pour une question productive.

— gung - Réintégrer Monica

Oui, @gung, je suis vraiment surpris par la qualité des réponses. Maintenant, c'est mon lien numéro 1 quand quelqu'un me pose des questions sur la racine de l'unité.

— Lucas Reis

Je ne peux pas rivaliser avec Winnie l'ourson, mais [voici une autre prise graphique.] [1] Les deux dernières séries (R et E) n'ont pas de racine unitaire et ne sont pas stationnaires. Vous pouvez voir à quelle distance ils dérivent. [1]: stats.stackexchange.com/a/25481/7071 .

— Dimitriy V. Masterov

Réponses:

133

Il venait d'arriver sur le pont. et ne regardant pas où il allait, il trébucha sur quelque chose et le cône de sapin sortit de sa patte dans la rivière.

"Ca t'embête," dit Pooh, comme il flottait lentement sous le pont, et il revint chercher un autre cône de sapin qui avait une comptine. Mais ensuite, il a pensé qu'il regarderait simplement la rivière à la place, parce que c'était une journée paisible, alors il s'est allongé et l'a regardée, et la journée s'est lentement échappée sous lui. . . et tout à coup, sa cône de sapin s’échappa aussi.

"C'est drôle", a déclaré Pooh. "Je l'ai laissé tomber de l'autre côté", a déclaré Pooh, "et il est sorti de ce côté! Je me demande s'il le ferait encore?"

AA Milne, La Maison de Pooh Corner (Chapitre VI. Dans lequel Winnie Winnie invente un nouveau jeu et auquel se joint Scott.)

Voici une image de l'écoulement le long de la surface de l'eau:

Pooh bâtons 1

Les flèches indiquent la direction du flux et sont reliées par des lignes de courant. Un cône de sapin aura tendance à suivre la ligne de courant dans laquelle il tombe. Mais il ne le fait pas toujours de la même manière à chaque fois, même lorsqu'il est déposé au même endroit dans le cours d'eau: des variations aléatoires le long de son trajet, provoquées par des turbulences dans l'eau, le vent et d'autres caprices de la nature, lignes de flux.

Pooh bâtons 2

Ici, le cône de sapin a été déposé près du coin supérieur droit. Il a plus ou moins suivi les lignes de cours d'eau - qui convergent et s'écoulent vers le bas et vers la gauche - mais il a fallu peu de détours en cours de route.

Un "processus autorégressif" (processus AR) est une séquence de nombres supposée se comporter comme certains flux. L'illustration en deux dimensions correspond à un processus dans lequel chaque nombre est déterminé par ses deux valeurs précédentes, plus un "détour" aléatoire. L'analogie est faite en interprétant chaque paire successive de la séquence en tant que coordonnées d'un point du flux. Instantanément, le débit du cours d'eau change les coordonnées du cône de sapin de la même manière mathématique donnée par le processus de RA.

Nous pouvons récupérer le processus original à partir de l'image basée sur le flux en écrivant les coordonnées de chaque point occupé par le cône de sapin, puis en effaçant tout sauf le dernier numéro de chaque ensemble de coordonnées.

La nature - et les cours d'eau en particulier - est plus riche et plus variée que les flux correspondant aux processus de RA. Étant donné que chaque nombre de la séquence est supposé dépendre de la même manière fixe de ses prédécesseurs - mis à part la partie détour aléatoire - les flux illustrant les processus de RA présentent des modèles limités. Ils peuvent en effet sembler couler comme un ruisseau, comme on le voit ici. Ils peuvent aussi ressembler au tourbillon autour d'un drain. Les flux peuvent se produire en sens inverse, semblant jaillir d'un drain. Et ils peuvent ressembler à des bouches de deux ruisseaux qui s’écroulent ensemble: deux sources d’eau s’écoulent directement, puis se séparent. Mais c'est à peu près tout. Vous ne pouvez pas avoir, par exemple, un flux qui coule avec des remous sur les côtés. Les processus de RA sont trop simples pour cela.

Pooh bâtons 3

Dans cet écoulement, le cône de sapin a été déposé dans le coin inférieur droit et rapidement emporté dans le tourbillon situé dans le coin supérieur droit, malgré les légers changements aléatoires de position subis. Mais il ne cessera jamais de bouger, à cause de ces mêmes mouvements aléatoires qui le sauvent de l'oubli. Les coordonnées de la pomme de pin se déplacent un peu - en effet, on les voit osciller, dans l'ensemble, autour des coordonnées du centre du tourbillon. Dans le premier flux, les coordonnées ont inévitablement progressé le long du centre du cours d'eau, ce qui a rapidement capturé le cône et l'a emporté plus rapidement que ses détours aléatoires ne le ralentissaient: elles ont tendance à s'orienter dans le temps. En revanche, le fait de tourner autour d’un tourbillon illustre une stationnaireprocessus dans lequel le cône de sapin est capturé; s’écoulant le long du ruisseau, dans lequel le cône s’écoule à l’abri de la vue - tendance

Incidemment, lorsque le flux pour un processus AR s'éloigne en aval, il accélère également . Cela devient de plus en plus rapide à mesure que le cône avance.

La nature d'un flux de RA est déterminée par quelques directions spéciales, "caractéristiques", qui sont habituellement évidentes dans le diagramme de flux: les lignes de courant semblent converger vers ou proviennent de ces directions. On peut toujours trouver autant de directions caractéristiques qu'il y a de coefficients dans le processus de RA: deux dans ces illustrations. Un numéro est associé à chaque direction caractéristique, sa "racine" ou "valeur propre". Lorsque la taille du nombre est inférieure à l'unité, le flux dans cette direction caractéristique est dirigé vers un emplacement central. Lorsque la taille de la racine est supérieure à l'unité, le flux s'accélère à partir d'un emplacement central. $1$ - est dominé par les forces aléatoires affectant le cône. C'est une "marche aléatoire". Le cône peut s'éloigner lentement mais sans accélérer.

(Certaines figures affichent les valeurs des deux racines dans leurs titres.)

$1$

Winnie l'Ourson et ses amis ont trouvé un test empirique de la stationnarité:

Un jour, Pooh and Piglet, Rabbit et Roo jouaient tous ensemble à Poohsticks. Ils avaient laissé tomber leurs bâtons quand Rabbit dit: "Vas-y!" et puis ils s'étaient dépêchés de l'autre côté du pont, et maintenant ils se penchaient tous par-dessus le bord, attendant de voir quel bâton sortirait le premier. Mais il a fallu attendre longtemps, car la rivière était très paresseuse ce jour-là et ne semblait guère gênée si elle n'y arrivait jamais du tout.

"Je peux voir le mien!" cria Roo. "Non, je ne peux pas, c'est autre chose. Peux-tu voir le tien, Porcinet? Je pensais pouvoir voir le mien, mais je ne pouvais pas. Voilà! Non, ça ne l'est pas. Peux-tu voir le tien, Pooh? "

"Non", a déclaré Pooh.

"Je m'attends à ce que mon bâton soit bloqué", a déclaré Roo. "Lapin, mon bâton est coincé. Est-ce que ton bâton est coincé, Porcinet?"

"Ils prennent toujours plus de temps que vous ne le pensez", a déclaré Rabbit.

Ce passage de 1928 pourrait être interprété comme le tout premier "test de l'unité".

— whuber
source

Mes excuses pour la dernière ligne.

— whuber

+1 @whuber: Je pense que vous avez défini un nouveau standard pour ce site. Je serai profondément déçu de toutes futures explications intuitives qui n'impliqueront pas les diagrammes et Winnie l'Ourson.

— Wayne

@whuber Une explication très amusante de la racine unitaire qui évite les mathématiques. +1 pour cela. Mais il semble qu'il ait fallu un chapitre de livre pour faire l'explication. Le lecteur doit également croire que la racine 1 marque la limite de la statisone. Pour montrer que je pense impliquerait nécessairement certaines mathématiques avec l'équation polynomiale. Le jeu de mots à la fin "Unit Roo" à la place de "Unit Root" était inestimable.

— Michael Chernick

1

$1$

Une autre bonne réponse. J'apprends souvent des choses, même lorsque je comprenais déjà assez bien le sujet, en lisant vos messages.

— Macro

$AR(1)$

$v_k = 0.5 v_{k-1} + \epsilon_{k-1}$
$v_k = v_{k-1} + \epsilon_{k-1}$
$\epsilon_i$ $N(0,1)$

Le processus 1 n'a pas de racine unitaire. Le processus 2 a une racine unitaire. Vous pouvez le confirmer en calculant les polynômes caractéristiques par réponse de Michael.

$v_1 = 0$ $v_{10} = 5$

Qu'est-ce qui se passe ensuite? Où attendons-nous la séquence?

$\epsilon_{i} = 0$ $v_{11} = 2.5$ $v_{12} = 1.25$ $v_{13} = 0.625$

$v_{11} = 5$ $v_{12} = 5$ $v_{13} = 5$

Donc, une intuition est, quand une "série de bonne / mauvaise chance" pousse un processus avec une racine unitaire autour, la séquence "reste bloquée" par la bonne ou la mauvaise chance historique. Il va toujours se déplacer au hasard, mais rien ne "le force à revenir". D'un autre côté, quand il n'y a pas de racine unitaire et que le processus ne explose pas, il y a une "force" sur le processus qui le ramènera à l'ancienne position, même si le bruit aléatoire le renversera encore un peu .

$v_k = -v_{k-1} + \epsilon_{k-1}$

— Patrick Caldon
source

bonne réponse Patrick. Dôme de beaux arguments intuitifs mais non vides de mathématiques.

— Michael Chernick

@ Patrick Caldon: excellente réponse également, et compliments très bien de Michael Chernick. Comme je l'ai dit dans sa réponse, j'aime aussi ces explications "mathématiques intuitives"!

— Lucas Reis

+1: Il n'est pas fait mention de Winnie l'Ourson, mais il en est tout à fait illustratif.

— Wayne

X_{t} = une X_{t - 1} + e_{t}

$X_t= aX_{t-1} + e_t$

e_{t}

$e_t$

X

$X$

X_{t} - une X_{t - 1} = e_{t} .

$X_t-aX_{t-1} = e_t.$

$BX_t = X_{t-1}$ $X_t-aBX_t =e_t$

(1 - une B) X_{t} = e_{t} .

$(1-aB)X_t = e_t.$

1 - a x

$1-ax$

x = 1 / a

$x=1/a$

| a | < 1

$|a|\lt 1$

A R (1)

$AR(1)$

| a | > 1

$|a|\gt 1$

A R (1)

$AR(1)$

a = 1

$a=1$

x = 1 / 1 = 1

$x=1/1=1$

A R (1)

$AR(1)$ modèle (en vertu de son polynôme caractéristique linéaire) est le plus simple pour l’illustrer.

— Michael Chernick
source

a \leq - 1

$a \le -1$

1

$1$

Cela aurait peut-être pu être davantage axé sur l'intuition, mais je ne pense pas que cela méritait un vote négatif. De mon point de vue, il s’agit en fait d’une déclaration assez claire et succincte de la racine unitaire.

— gung - Réintégrer Monica

Je ne pense pas que ce soit le cas de Bill. Si a> 1 en valeur absolue, la racine se trouve en dehors du cercle unitaire. Donc, un <-1 est aussi non stationnaire qu'un> 1. À l'intérieur du cercle d'unités, le modèle est immobile. Dehors, il est non stationnaire. Le cercle unitaire est la limite. Dans ma réponse, j'aurais dû mettre un signe de valeur absolue autour d'un. Est-ce que mon explication n'est pas aussi simple que vous pouvez trouver? Quelqu'un a vraiment voté contre!

— Michael Chernick

@MichaelChernick: Je ne sais vraiment pas si des réponses intuitives sans mathématiques sont possibles dans tous les cas, et des réponses "mathématiques intuitives" comme la vôtre sont également géniales! Essayer d'éviter les arguments mathématiques, à mon avis, est un outil puissant, non seulement pour mieux comprendre le concept statistique, mais également pour mieux comprendre les arguments mathématiques! ;)

— Lucas Reis

Michael, notez que @Lucas est le PO. :-)

— cardinal