La somme des variables aléatoires exponentielles suit Gamma, confuse par les paramètres

J'ai appris que la somme des variables aléatoires exponentielles suit la distribution gamma.

Mais partout où je lis, le paramétrage est différent. Par exemple, Wiki décrit la relation, mais ne dites pas ce que leurs paramètres signifient réellement? Forme, échelle, taux, 1 / taux?

Distribution exponentielle: ~ $x$ $exp(\lambda)$

f (x | λ) = λ e^{- λ x}

$f(x|\lambda )=\lambda {{e}^{-\lambda x}}$

E [x] = 1 / λ

$E[x]=1/ \lambda$

v a r (x) = 1 / λ^{2}

$var(x)=1/{{\lambda}^2}$

Distribution gamma: $\Gamma(\text{shape}=\alpha, \text{scale}=\beta)$

f (x | α, β) = \frac{1}{β^{α}} \frac{1}{Γ (α)} x^{α - 1} e^{- \frac{x}{β}}

$f(x|\alpha ,\beta )=\frac{1}{{{\beta }^{\alpha }}}\frac{1}{\Gamma (\alpha )}{{x}^{\alpha -1}}{{e}^{-\frac{x}{\beta }}}$

E [x] = α β

$E[x]=\alpha\beta$

v a r [x] = α β^{2}

$var[x]=\alpha{\beta}^{2}$

Dans ce paramètre, qu'est-ce que ? Quelle serait la bonne paramétrisation? Que diriez-vous d'étendre cela au chi carré? $\sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}}$

distributions probability gamma-distribution

— edwin
source

En règle générale, les probabilistes ont tendance à utiliser pour désigner une distribution Gamma avec la moyenne (c'est-à-dire, tandis que les statisticiens ont tendance à utiliser pour désigner une variable aléatoire Gamma avec une moyenne , pas comme vous l'avez. Wikipedia décrit les deux conventions.

Γ (t, λ)

$\Gamma(t,\lambda)$

\frac{t}{λ}

$\frac{t}{\lambda}$

f (x) = \frac{λ}{Γ (t)} \cdot (λ x)^{t - 1} \exp (- λ x) 1_{(0, \infty)}

$f(x) = \frac{\lambda}{\Gamma(t)}\cdot (\lambda x)^{t-1}\exp(-\lambda x)\mathbf 1_{(0,\infty)}$

Γ (α, β)

$\Gamma(\alpha,\beta)$

α β

$\alpha\beta$

α / β

$\alpha/\beta$

— Dilip Sarwate

désolé, vous avez raison.

— edwin

Deux conseils: 1. n'oubliez pas de vérifier par cohérence de dimensionnalité. (par exemple, le paramètre a-t-il la même dimensionnalité de

, ou son recyprocal ...?) 2. parce qu'ici le paramètre du gamma est un entier, il pourrait être légèrement plus facile d'utiliser des factorielles simples et la distribution d'Erlang (de bien sûr, c'est pareil)

x

$x$

— leonbloy

@edwin Veuillez donc modifier votre question pour corriger les expressions de moyenne et de variance.

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate modifié!

— edwin

Réponses:

La somme de variables aléatoires gamma indépendantes est une variable aléatoire gamma . Peu importe ce que signifie le deuxième paramètre (échelle ou inverse de l'échelle) tant que toutes les variables aléatoires ont le même deuxième paramètre. Cette idée s'étend facilement à variables aléatoires qui sont un cas particulier des variables aléatoires gamma. $n$ $\sim \Gamma(t_i, \lambda)$ $\sim \Gamma\left(\sum_i t_i, \lambda\right)$ $n$ $\chi^2$

— Dilip Sarwate
source

Ce qui m'embrouille, c'est que certains livres écrivent

où

est le taux, tandis que d'autres signifient 1 / taux. Existe-t-il une notation cohérente? Si je ne vois pas le pdf, je ne saurai pas ce qu'ils signifient.

e x p (λ)

$exp(\lambda)$

λ

$\lambda$

— edwin

Si vous pensez que cela prête à confusion, attendez de rencontrer des variables aléatoires normales. Il existe au moins trois interprétations différentes de

que les statisticiens utilisent.

X \sim N (μ, s)

$X \sim N(\mu,s)$

— Dilip Sarwate

lol, c'est juste ruiner des âmes innocentes qui veulent étudier le sujet. Personnellement, je pense que c'est juste mal écrit de la part de l'auteur, en même temps, je suis d'accord que je dois adapter la capacité de repérer les mauvaises choses. Mais quand même, pas quand je fais des pas de bébé.

— edwin

Eh bien, en tant qu'auteur de la réponse à l'autre question, je suis déçu que vous pensiez que cette réponse est mal écrite. Les suggestions pour l'améliorer sont les bienvenues.

— Dilip Sarwate

Je ne parle pas de votre lien.

— edwin

La somme de iid distributions exponentielles avec l'échelle (taux ) est distribuée gamma avec la forme et l'échelle (taux ). $n$ $\theta$ $\theta^{-1}$ $n$ $\theta$ $\theta^{-1}$

— Neil G
source

la distribution gamma est faite d'une distribution exponentielle qui est la distribution exponentielle est la base de la distribution gamma. alors si nous avons , tant que tous les sont indépendants. $f(x|\lambda)=\lambda e^{−\lambda x}$ $\sum_n x_i \sim \text{Gamma}(n,\lambda)$ $X_i$

f (x | α, β) = \frac{β^{α}}{Γ (α)} \cdot x^{α - 1} \cdot e^{- x β}

$f(x|\alpha,\beta)=\frac{\beta^α}{\Gamma(\alpha)} \cdot x^{\alpha−1} \cdot e^{−x\beta}$

— hasanmisaii
source

J'ai formaté la partie mathématique de votre réponse. Veuillez vérifier si c'est toujours ce que vous vouliez exprimer.

— Andy

Votre affirmation

est incorrect à moins que vous le qualifier en insistant pour que les

sont indépendantes des variables aléatoires.

\sum x_{i} \sim Gamma (n, λ)

$\sum x_i \sim \text{Gamma}(n,\lambda)$

x_{i}

$x_i$

— Dilip Sarwate