Cet article du NYT suppose-t-il à tort des incréments indépendants?

L'article trace pour 100 femmes qui utilisent un certain type de méthode de contraception le nombre de grossesses non planifiées au fil du temps.

https://www.nytimes.com/interactive/2014/09/14/sunday-review/unplanned-pregnancies.html?_r=0

En particulier, à la fin de l'article, ils disent:

Les nombres sont calculés comme suit:

$\mathbb P(\text{Not pregnant after year N}) = \mathbb P(\text{Not pregnant after year 1})^N$

En effet, le taux de réussite de la contraception est la probabilité de ne pas être enceinte pendant la première année. Voir par exemple https://www.cdc.gov/reproductivehealth/contraception/unintendedpregnancy/pdf/contraceptive_methods_508.pdf

Cela est vrai si la probabilité de grossesse pendant une année est indépendante de l'année précédente, mais il semble très peu probable que ce soit vrai. Si vous utilisez la contraception dans le mauvais sens, elle ira probablement mal la première année, et si ce n'est pas le cas, elle ne se passera probablement pas mal l'année suivante?

Désolé, je ne suis pas d'accord avec l'hypothèse d'indépendance. La fécondité chez la femme, même sans contraception, est fonction de l'âge , de sorte que, sans contraception,

Chances de tomber enceinte sans FIV (fécondation in vitro)

Starting at about age 32, a woman’s chances of conceiving decrease gradually but significantly.
From age 35, the fertility decline speeds up.
By age 40, fertility has fallen by half.
At 30, the chance of conceiving each month is about 20%. At 40 it’s around 5%.
Note (mine) after age ~49 menopause occurs and when it does, women are infertile.

Le taux de grossesse est également fonction de la fréquence des rapports sexuels , qui évolue également avec l'âge:

About 5% of single women between the ages of 18 and 24 had sex 4 or more times per week, but 24% of married women did.
Like the men, just under half of the women between the ages of 25 and 59 had sex a few times per month to weekly, more than their single and partnered peers.
Sexual frequency did decrease with age for women, although almost a quarter of partnered women over age 70 had sex more than 4 times a week.

Temps relatif d'ovulation, de rapport sexuel et d'âge féminin:

Enfin, pour considérer l'efficacité de la contraception sur une base annualisée, il faut considérer non seulement la baisse de la fécondité et de la fréquence sexuelle, mais généralement quelque peu décroissante avec l'âge, mais probablement aussi une myriade d'autres facteurs. Par exemple, le pourcentage de femmes en post-partum augmente avec l'âge, et les femmes en post-partum peuvent avoir une efficacité d'utilisation des contraceptifs différente de l'âge nullipare du partenaire au moment des rapports sexuels par rapport à l'ovulation, voir l'image:

le moment des rapports sexuels par rapport à l'ovulation, qui a un impact énorme sur la fertilité, se reflète également sur la probabilité de grossesse même lorsque d'autres facteurs, comme la contraception, sont pris en compte. Ainsi, une femme qui s'appuie sur la méthode du rythme, ainsi que sur une ou plusieurs autres méthodes de contraception, c'est-à-dire une femme qui connaît à la fois ses fonctions corporelles et utilise ces connaissances (et à mesure que les connaissances sont acquises) peut éventuellement faire de plus en plus efficace travail d'éviter la grossesse, de sorte qu'il n'y a essentiellement aucune chance pour l'indépendance de la fertilité avec l'âge écoulé.

Voici un compte rendu des probabilités pertinentes au problème en question.

Désigner par $z_n$ l'événement «pas de grossesse après $n$ans pour une femme utilisant un type de contraception. alors

$$P(z_N) = P(z_N | z_{N-1}) P(z_{N-1} | z_{N-2})\cdots P(z_2 | z_1)P(z_1).$$ Le problème est que le NYT suppose $P(z_i | z_{i-1}) = P(z_1) = p$, pour tous $i$, tout en sachant $z_{i-1}$peut fournir des preuves que la femme utilise bien la méthode de contraception et peut être expérimentée avec elle. Il faut donc s’attendre à ce que $$P(z_N | z_{N-1}) > P(z_{N-1} | z_{N-2}) > \cdots > P(z_1).$$ Cela implique $$P(\text{'at least 1 pregnancy after $N$ years'}) < 1-p^n$$ plutôt que l'égalité revendiquée par le NYT.

Addenda. (Présentation alternative de la réponse de user385948)

Chaque femme $w$ utilisant un type particulier de contraceptif, parmi $M$ autre femme, a sa propre probabilité fixe $q_w$de ne pas avoir de grossesse non désirée en un an. Le taux de réussite moyen du contraceptif sur un an est de$p =\tfrac{1}{M}\sum_w q_w$. Le taux de réussite moyen après$N$ ans, en supposant l’indépendance d’une année sur l’autre, $\tfrac{1}{M}\sum_w q_w^N$. cependant,

$$\tfrac{1}{M}\sum_w q_w^N \geq \left(\tfrac{1}{M}\sum_w q_w\right)^N = p^N,$$ par l'inégalité de Jensen, avec l'égalité si et seulement si $q_w$ est constant sur $w$.

Par conséquent, en moyenne, généralement strictement inférieur à$(1-p^{10})\times 100$ une femme sur cent aura une grossesse non désirée sur une période de 10 ans.

D'un point de vue probabiliste, je m'attendrais à ce que

$$\mathbb P(\text{Not pregnant after year N}) \geq \mathbb P(\text{Not pregnant after year 1})^N.$$ Cette attente est motivée comme suit. Supposons qu'au moment$t=0$, chaque femme se voit attribuer un numéro (potentiellement différent) $p\in[0,1]$, la probabilité qu'elle tombe enceinte la première année. Si elle n'est pas tombée enceinte après$k$ ans, puis la probabilité qu’elle tombe enceinte dans le $k+1$-ème année est à nouveau $p$. alors$1-\mathbb{E}p$ est exactement $$\mathbb P(\text{Not pregnant after year 1}).$$ Nous voulons prouver que $$\mathbb P(\text{Not pregnant after year 1})^N$$ est une borne inférieure pour $$\mathbb P(\text{Not pregnant after year N}).$$ Mais, étant donné le nombre de femmes et $$1-\mathbb{E}p=\mathbb P(\text{Not pregnant after year 1}),$$ nous pouvons optimiser les valeurs de $p$ des femmes individuelles pour minimiser $$\mathbb P(\text{Not pregnant after year N}).$$ Il y a un minimum global, c'est "assigner $p' =\mathbb{E} p$ à toute femme "(donc $p'$est déterministe), et pour ce minimum nous avons l'égalité (car en effet tout est indépendant). L'inégalité s'ensuit. Pour illustrer cela avec un exemple, supposons que nous avons deux femmes, ayant$p=0$ et $p=1$. alors $$\frac{1}{2}=\mathbb P(\text{Not pregnant after year N})>\mathbb P(\text{Not pregnant after year 1})^N =\frac{1}{2^N}$$ pour $N>1$.