Quelle est la distribution de la somme des variables aléatoires chi carré?

Quelle serait la distribution de l'équation suivante:

y = a^{2} + 2 a d + d^{2}

$y = a^2 + 2ad + d^2$

où et sont des variables aléatoires chi carré non centrales indépendantes avec degrés de liberté. $a$ $d$ $2 \textbf{M}$

OBS.: Les RV générant à la fois et ont et , disons . $a$ $d$ $\mu = 0$ $\sigma^2 \neq 1$ $\sigma^2 = c$

distributions chi-squared pdf

— Felipe Augusto de Figueiredo
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1. Comment sont et liées? 2. Les variables aléatoires du chi carré ont déjà une moyenne> 0 Pourquoi auriez-vous besoin de l'indiquer explicitement? (Ou essayez-vous de faire référence à un chi carré non central?)

a

$a$

d

$d$

— Glen_b -Reinstate Monica

Je viens d'ajouter quelques informations supplémentaires à la question. Ce sont des RV chi carré non centraux car ils ont été générés par des variables aléatoires gaussiennes complexes symétriques circulaires non standard.

— Felipe Augusto de Figueiredo

2M sont les degrés de liberté pour chacun des deux?

— Alecos Papadopoulos

Felipe, dans votre question , vous dites et faire « ont » , mais maintenant dans votre dernier commentaire que vous ils déclarent ne pas avoir cette propriété. Lequel est-ce??

a

$a$

d

$d$

μ = 0

$\mu=0$

— whuber

Merci d'avoir essayé d'expliquer, mais je ne comprends toujours pas. Lorsque vous écrivez « et sont des variables aléatoires chi carré non centrales indépendantes», il semble que vous additionnez des carrés de variables aléatoires normales qui ont des moyennes non nulles, car c'est ainsi que les variables non centrales chi carré apparaissent généralement. Mais plus tard, vous écrivez «Les RV générant à la fois et ont », ce qui suggère que vous travaillez avec des variables centrales du chi carré. Je soupçonne que ce sont les incohérences qui ont incité le commentaire initial de @Glen_b. Pourriez-vous montrer explicitement ce et

a

$a$

d

$d$

a

$a$

d

$d$

μ = 0

$\mu=0$

a

$a$

d

$d$ sont?

— whuber

Réponses:

Si sont indépendants, alors aura la . Puisque est non négatif, CDF de peut être trouvé en notantPar conséquent, $a, d\sim\chi^2_{2M}$ $X=a+d$ $\chi^2_{4M}$ $X$ $Y=a^2+2ad+d^2=(a+d)^2=X^2$

F_{Y} (y) = P (Y \leq y) = P (X^{2} \leq y) = P (X \leq \sqrt{y}) = F_{X} (\sqrt{y}) .

$F_Y(y)=P(Y\leq y)=P(X^2\leq y)=P(X\leq \sqrt{y})=F_X(\sqrt{y}).$

f_{Y} (y) = \frac{1}{2 \sqrt{y}} f_{X} (\sqrt{y}) = \frac{1}{2^{2 M + 1} Γ (2 M)} y^{M - 1} e^{- \sqrt{y} / 2} .

$f_Y(y)=\frac{1}{2\sqrt{y}}f_X(\sqrt{y})=\frac{1}{2^{2M+1}\Gamma(2M)}y^{M-1}e^{-\sqrt{y}/2}.$

Si et sont corrélés, les choses sont beaucoup plus complexes. Voir par exemple la fonction de distribution cumulative de NH Gordon et PF Ramig de la somme des variables aléatoires du chi carré corrélé (1983) pour une définition du chi carré multivarié et la distribution de sa somme. $a$ $d$

Si vous avez affaire à un chi carré non central, donc ce qui précède ne sera plus valide. Ce message peut fournir un aperçu. $\mu\neq 2M$

EDIT: Sur la base des nouvelles informations, il semble et soient formés en additionnant le rv normal avec une variance non unitaire. Rappelez-vous si alors . Depuis maintenant deux auront une distribution chi carré mise à l'échelle par , c'est-à-dire la distribution . Dans ce cas, sera distribué par . Par conséquent, pour nous avons $a$ $d$ $Z\sim N(0, 1)$ $\sqrt{c}Z\sim N(0, c)$

a = c \sum_{i = 1}^{2 M} Z_{i}^{2} = d,

$a=c\sum_{i=1}^{2M}Z_i^2=d,$

a, d

$a,d$

c

$c$

Γ (M, 2 c)

$\Gamma(M, 2c)$

X = a + d

$X=a+d$

Γ (2 M, 2 c)

$\Gamma(2M, 2c)$

Y = X^{2}

$Y=X^2$

f_{Y} (y) = \frac{1}{2 (2 c)^{2 M} Γ (2 M)} y^{M - 1} e^{- \sqrt{y} / 2 c} .

$f_Y(y)=\frac{1}{2(2c)^{2M}\Gamma(2M)}y^{M-1}e^{-\sqrt{y}/2c}.$

— Francis
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Comment mu entre-t-il? Est-il supposé être la moyenne d'une des variables khi-deux? Je soupçonne que cela n'a rien à voir avec le problème.

— Michael R. Chernick

@MichaelChernick: signifie probablement que peut être un chi carré non central?

a, d

$a, d$

— Francis

Je suppose que vous pouvez faire cette hypothèse mais l'OP ne fait aucune connexion. Je pense que vous avez adopté la bonne approche, le non-central ne pouvait pas entrer dans ce problème. X est le carré d'un chi carré ici. Dans le cas de l'indépendance que vous avez utilisée ici, comment s'appelle cette distribution?

— Michael R. Chernick

@MichaelChernick Je ne sais pas s'il y a un nom spécial associé à la distribution. "chi-tesseracté" peut-être?

— Francis

a

$a$ et sont des chi-carrés non centraux.

d

$d$

— Felipe Augusto de Figueiredo

Puisqu'un khi carré non central est une somme de RV indépendants, alors la somme de deux chi carrés non centraux indépendants est également un chi carré non central avec des paramètres la somme des paramètres correspondants de les deux composantes, (degrés de liberté), (paramètre de non centralité). $X = a+b$ $k_x = k_a+k_b$ $\lambda_x = \lambda_a+\lambda_b$

Pour obtenir la fonction de distribution de son carré , on peut appliquer la "méthode CDF" (comme dans la réponse @francis), $Y =X^2$

F_{Y} (y) = P (Y \leq y) = P (X^{2} \leq y) = P (X \leq \sqrt{y}) = F_{X} (\sqrt{y})

$F_Y(y)=P(Y\leq y)=P(X^2\leq y)=P(X\leq \sqrt{y})=F_X(\sqrt{y})$

et où

F_{X} (x) = 1 - Q_{k_{x} / 2} (\sqrt{λ_{x}}, \sqrt{x})

$F_X(x)=1 - Q_{k_x/2} \left( \sqrt{\lambda_x}, \sqrt{x} \right)$

donc

F_{Y} (y) = 1 - Q_{k_{x} / 2} (\sqrt{λ_{x}}, y^{1 / 4})

$F_Y(y)=1 - Q_{k_x/2} \left( \sqrt{\lambda_x}, y^{1/4} \right)$

où est ici la fonction Q de Marcum . $Q$

Ce qui précède s'applique aux chi-carrés non centraux formés comme des sommes de normales quadratiques indépendantes chacune avec une variance unitaire mais une moyenne différente.

ADDENDA RÉPONDANT À LA MODIFICATION DE LA QUESTION

Si les RV de base sont , alors le carré de chacun est un voir https://stats.stackexchange.com/a/122864/28746 . $N(0,c)$ $Gamma (1/2,2c)$

Donc, le rv et donc aussi (paramétrage de l'échelle de forme, et voir l'article de wikipedia pour le propriétés additives pour Gamma). $a \sim Gamma (M, 2c)$ $b \sim Gamma (M, 2c)$ $X = a+b \sim Gamma(2M, 2c)$

Ensuite, on peut appliquer à nouveau la méthode CDF pour trouver le CDF du carré $Y = X^2$

— Alecos Papadopoulos
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@FelipeAugustodeFigueiredo Désolé, je ne connais pas les VR complexes. Ma réponse a pris comme étant donné que nous partons de chi-carrés non centraux.

— Alecos Papadopoulos

Et si les RV sont des variables aléatoires gaussiennes complexes symétriques circulaires avec et ?

μ = 0

$\mu = 0$

σ = c I

$\sigma = cI$

— Felipe Augusto de Figueiredo

oublions les VR complexes. Et si les RV générant et sont des RV gaussiens avec et ? Tous les RV gaussiens ont la même variance, appelons-le .

a

$a$

d

$d$

μ = 0

$\mu = 0$

σ \neq 1

$\sigma \neq 1$

c

$c$

— Felipe Augusto de Figueiredo

pourriez-vous s'il vous plaît m'aider avec la question suivante: stats.stackexchange.com/questions/253764/… . Tout indice serait très apprécié. Merci!

— Felipe Augusto de Figueiredo

@FelipeAugustodeFigueiredo J'ai bien peur de n'avoir rien à offrir pour cette question.

— Alecos Papadopoulos