somme des variables aléatoires du chi carré non central

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J'ai besoin de trouver la distribution de la variable aléatoire

Y = \sum_{i = 1}^{n} (X_{i})^{2}

$Y=\sum_{i=1}^{n}(X_i)^2$ où

X_{i} \sim N (μ_{i}, σ_{i}^{2})

$X_i\sim{\cal{N}}(\mu_i,\sigma^2_i)$ et tous les

X_{i}

$X_i$ s sont indépendants. Je sais qu'il est possible de trouver d 'abord le produit de toutes les fonctions génératrices de moments pour

X_{i}

$X_i$ s, puis de retransformer pour obtenir la distribution de

Y

$Y$ Cependant, je me demande s'il existe une forme générale pour

Y

$Y$ comme le cas gaussien: nous savons que la somme de gaussien indépendant est encore gaussienne, et donc nous n'avons besoin que de connaître la moyenne et la variance sommées.

Que diriez-vous de tout ? Cette condition fera-t-elle une solution générale? $\sigma^2_i=\sigma^2$

— piège
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1

En regardant le premier paragraphe ici , clairement la condition finale donne un chi carré non centrale échelle (diviser par par

(le facteur d'échelle vous prendre à l'avant) et faire

dans

). La forme plus générale avec laquelle vous avez commencé ressemble à une combinaison linéaire ou à une moyenne pondérée échelonnée, avec des coefficients

plutôt qu'une simple somme de carrés échelonnés ... et je crois que la distribution requise ne sera généralement pas requise.

σ^{2}

$\sigma^2$

σ_{i} = 1

$\sigma_i=1$

\sum_{i = 1}^{k} (X_{i} / σ_{i})^{2}

$\sum_{i=1}^k (X_i/\sigma_i)^2$

σ_{i}^{2}

$\sigma^2_i$

— Glen_b -Reinstate Monica

Selon ce dont vous avez besoin, dans certains cas spécifiques, vous pouvez effectuer une convolution numérique ou une simulation.

— Glen_b -Reinstate Monica

Ceci est généralisé par la distribution de la «somme pondérée des log chi-carrés au pouvoir». Mon package R sadistsfournit des fonctions «dpqr» approximatives pour

; cf github.com/shabbychef/sadists

Y

$Y$

— shabbychef

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Comme Glen_b l'a noté dans les commentaires, si les variances sont toutes les mêmes, vous vous retrouvez avec un chi carré non central à l'échelle.

Sinon, il existe un concept de distribution khi carré généralisée , c'est-à-dire pour et fixe. Dans ce cas, vous avez le cas particulier de la diagonale ( ), et . $x^T A x$ $x \sim N(\mu, \Sigma)$ $A$ $\Sigma$ $\Sigma_{ii} = \sigma_i^2$ $A = I$

Il y a eu du travail sur le calcul des choses avec cette distribution:

Imhof (1961) et Davies (1980) inversent numériquement la fonction caractéristique.
Sheil et O'Muircheartaigh (1977) écrivent la distribution comme une somme infinie de variables chi-carré centrales.
Kuonen (1999) donne une approximation du point de selle au pdf / cdf.
Liu, Tang et Zhang (2009) l' approchent avec une distribution chi carré non centrale basée sur l'appariement des cumulants.

Vous pouvez également l'écrire sous la forme d'une combinaison linéaire de variables chi carré non centrales indépendantes , auquel cas: $Y = \sum_{i=1}^n \sigma_i^2 \left( \frac{X_i^2}{\sigma_i^2} \right)$

Castaño-Martínez et López-Blázquez (2005) donnent une extension Laguerre pour le pdf / cdf.

Bausch (2013) propose un algorithme plus efficace en termes de calcul pour la combinaison linéaire de khi deux centrés; son travail pourrait être extensible aux chi-carrés non centraux, et vous pourriez trouver des pointeurs intéressants dans la section de travail connexe.

— Dougal
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2

Une comparaison des méthodes d'approximation se trouve dans Duchesne et al. 2010. Statistiques computationnelles et analyse des données, 54, 858–862. Les auteurs maintiennent le package R CompQuadForm avec des implémentations.

— caracal

-10

Ce sera le chi carré de n degrés de liberté.

— Ahmed
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6

Je crois que vous avez oublié que le

peut être différent de zéro. Les commentaires à la question ainsi que la réponse existante sont informatifs.

μ_{i}

$\mu_i$

— whuber