Régression logistique pour les données des distributions de Poisson

À partir de quelques notes d'apprentissage automatique parlant de certaines méthodes de classification discriminantes, en particulier la régression logistique, où y est l'étiquette de classe (0 ou 1) et x les données, il est dit que:

si $x|y = 0 \sim \mathrm{Poisson}(λ_0)$ , et $x|y = 1 \sim \mathrm{Poisson}(λ_1)$ , alors $p(y|x)$ sera logistique.

Pourquoi est-ce vrai?

$Y$ a deux valeurs possibles pour toute valeur donnée de $X$ . Selon les hypothèses,

$$\Pr(X=x|Y=0) = \exp(-\lambda_0) \frac{\lambda_0^x}{x!}$$

et

$$\Pr(X=x|Y=1) = \exp(-\lambda_1) \frac{\lambda_1^x}{x!}.$$

Par conséquent (il s'agit d'un cas trivial du théorème de Bayes), la probabilité que conditionnel à soit la probabilité relative de ce dernier, à savoir$Y=1$$X=x$

$$\Pr(Y=1|X=x) = \frac{\exp(-\lambda_1) \frac{\lambda_1^x}{x!}}{\exp(-\lambda_1) \frac{\lambda_1^x}{x!} + \exp(-\lambda_0) \frac{\lambda_0^x}{x!}}= \frac{1}{1 + \exp(\beta_0 + \beta_1 x)}$$

où

$$\beta_0 = \lambda_1 - \lambda_0$$

et

$$\beta_1 = -\log(\lambda_1/\lambda_0).$$

Il s'agit bien du modèle de régression logistique standard.