Deux variables aléatoires normales normales sont-elles toujours indépendantes?

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J'ai appris que la distribution normale standard est unique car la moyenne et la variance sont fixées à 0 et 1 respectivement. Par ce fait, je me demande si deux variables aléatoires standard doivent être indépendantes.

normal-distribution independence

— C.Hawk
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Pourquoi devraient-ils être ..? L'indépendance n'a rien à voir avec la distribution.

— Tim

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Considérons

et

. Ils ne sont pas indépendants.

X

$X$

X

$X$

— djechlin

Vous pouvez trouver cela utile d'un point de vue pratique. stats.stackexchange.com/questions/15011/…

— JustGettinStarted

En plus des beaux exemples donnés, considérons généralement une distribution normale bivariée avec N (0,!) Distributions marginales. Il est possible d'avoir une corrélation entre -1 et 1. Les exemples ci-dessous sont tous des cas particuliers. Par ailleurs, il est possible que deux variables normales standard soient dépendantes mais n'aient pas de distribution bivariée.

— Michael R. Chernick

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Je remarque que Batman donne un résultat général qui peut être le même que ce que je suggère. Le cas Y = -X a la corrélation -1 et est donc une forme dégénérée d'une normale bivariée. Je n'ai pas vu d'exemple ici (sur ce post) qui illustre un cas qui n'est pas bivarié normal.

— Michael R. Chernick

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La réponse est non. Par exemple, si est une variable aléatoire standard, alors suit les mêmes statistiques, mais et sont clairement dépendants. $X$ $Y=-X$ $X$ $Y$

— zap
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Non, il n'y a aucune raison de croire que deux gaussiens standard sont indépendants.

Voici une construction mathématique simple. Supposons que et sont deux variables normales standard indépendantes. Ensuite, la paire $X$ $Y$

X, \frac{X + Y}{\sqrt{2}}

$X, \frac{X + Y}{\sqrt{2}}$

sont deux variables normales standard dépendantes . Donc, tant que leur sont deux indépendants variables normales, il doit y avoir deux dépendants les.

La deuxième variable est normale car toute combinaison linéaire de variables normales indépendantes est à nouveau normale. Le est là pour rendre la variance égale à. $\sqrt{2}$ $1$

V (\frac{X + Y}{\sqrt{2}}) = \frac{1}{{\sqrt{2}}^{2}} (V (X) + V (Y)) = 1

$V \left(\frac{X + Y}{\sqrt{2}} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}^2} (V(X) + V(Y)) = 1$

Intuitivement, ceux-ci sont dépendants car connaître la valeur de vous donne des informations supplémentaires que vous pouvez utiliser pour prédire la valeur de la deuxième variable. Par exemple, si vous savez que , l'attente conditionnelle de la deuxième variable est $X$ $X = x$

E [\frac{X + Y}{\sqrt{2}} ∣ X = x] = \frac{x}{\sqrt{2}}

$E \left[\frac{X + Y}{\sqrt{2}} \mid X = x \right] = \frac{x}{\sqrt{2}}$

— Matthew Drury
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Voici une réponse assez large:

$X,Y$ $a,b$ $a X + bY$ $X$ $Y$ $E[(X-E[X])(Y-E[Y])]=0$

Comment pouvez-vous générer des variables aléatoires normales standard qui ne sont pas indépendantes? Choisissez votre matrice préférée de la forme telle que a des racines positives dans . Ensuite, appliquez le Cholesky à une décomposition . Ensuite, prenez deux variables aléatoires normales normales indépendantes puis le vecteur $\Sigma=\begin{bmatrix} 1 & p \\ p & 1 \end{bmatrix}$ $(\lambda-1)^2 - p^2$ $\lambda$ $\Sigma= R R^T$ $U,V$ $R \begin{bmatrix} U \\ V \end{bmatrix}$ $p=0$ .

— Batman
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A non-bivariate normal example (as Michael Chernick suggests in the comments):

Let $f_{X,Y}(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{\pi} e^{-\frac{x^2+y^2}{2}} & xy\geq 0 \\ 0 & o.w. \end{cases}$ .

This is not a bivariate normal distribution, but a simple integral shows that both marginals are standard normal. They're obviously not independent since $f_{X,Y}(x,y) \neq f_X(x) f_Y(y)$ .

— Batman
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